Физтех 2025, отборочный этап, 11 класс, второй тур, задача 5
Расстояние между центрами двух квадратов со стороной равно , а одна из сторон первого квадрата параллельна одной из сторон второго. Какую наименьшую площадь может иметь их общая часть?
Ответ
Ответ. .
Решение. Пусть начало координат находится в середине стороны первого квадрата, ось направлена вдоль его стороны, а ось проходит через его центр так, что он находится в точке с координатами . Пересечение двух квадратов — прямоугольник со сторонами, параллельными координатным осям. Обозначим через и длины сторон этого прямоугольника, параллельные осям и соответственно. Тогда с помощью теоремы Пифагора несложно показать, что расстояние между центрами квадратов удовлетворяет равенству
Пусть . Тогда , откуда . Минимальная площадь равна .