Физтех 2026, отборочный этап, 10 класс, второй тур, задача 6

Пусть — точка пересечения высот остроугольного треугольника . Окружность, описанная около треугольника , касается прямой . Найдите косинус угла , если , .

Ответ

Ответ. .

Решение. Пусть — основание высоты к стороне , , . По свойству хорды и касательной

С другой стороны

Поэтому углы и равны, значит — биссектриса и высота треугольника , и этот треугольник является равнобедренным. По теореме синусов для треугольника

Отсюда следует, что

Похожие задачи

Физтех 2026, отборочный этап, 11 класс, третий тур, задача 1

Две окружности ω₁ и ω₂ равного радиуса 10 пересекаются в точках B и C. На окружности ω₁ выбрана точка A, которая не лежит внутри ω₂. Луч AB пересекает ω₂ в точке D, причём B лежит на отрезке AD. Точка E симметрична точке D относительно точки C.

Средняя

Планиметрия

Физтех 2025, отборочный этап, 11 класс, второй тур, задача 6

В треугольнике ABC со стороной BC=3√(193) ортогональные проекции медианы BM на прямые AB и AC равны и имеют длину 25,2. Найдите длину биссектрисы AL треугольника ABC.

Средняя

Планиметрия

Физтех 2026, отборочный этап, 11 класс, второй тур, задача 2

Петя нарисовал на плоскости прямоугольный треугольник ABC с катетами AB=√3, AC=4. Вася последовательно передвигает сначала точку A вдоль прямой, параллельной BC, затем точку B вдоль прямой, параллельной (новой) AC, а затем C вдоль прямой, параллельной (новой) прямой AB. Обозначим полученный Васей тр

Средняя

Планиметрия

Физтех 2026, отборочный этап, 11 класс, второй тур, задача 6

На двух параллельных прямых взяты точки A, B, C, D, X, как показано на рисунке. Вася нашёл отношение BC:AD=x, после чего отметил точки пересечения медиан P, Q, R соответственно треугольников BAX, CDX и AXD. Петя вычислил площадь треугольника PQR: она оказалась равна S. Найдите площадь треугольника A

Средняя

Планиметрия