Физтех 2026, отборочный этап, 11 класс, второй тур, задача 6

На двух параллельных прямых взяты точки , , , , , как показано на рисунке. Вася нашёл отношение , после чего отметил точки пересечения медиан , , соответственно треугольников , и . Петя вычислил площадь треугольника : она оказалась равна . Найдите площадь треугольника .

Рисунок к условию

Ответ

Ответ. .

Решение. Докажем, что . Поскольку точка пересечения медиан делит медиану в отношении , считая от вершины, из теоремы Фалеса следует, что , а расстояние от или до прямой равно расстоянию от до прямой и равно трети расстояния между прямыми и . Значит, высота треугольника втрое меньше высоты трапеции .

Вновь по теореме Фалеса находим, что часть прямой , попавшая внутрь треугольника , равна , а и делят пополам отрезки этой прямой, попавшие внутрь треугольников и соответственно, и . Значит,

Теперь выразим через площадь четырёхугольника :

Похожие задачи

Физтех 2023, отборочный этап, 11 класс, третий тур, задача 3

Окружность проходит через вершину B треугольника ABC и через его точку пересечения биссектрис I, причём прямая AI касается этой окружности. Пусть X и Y — точки пересечения сторон AB и BC соответственно с этой окружностью, а Z есть точка пересечения стороны AC с прямой IY. а) Найдите BY, если XI=3,5;

Средняя

Планиметрия

Физтех 2024, отборочный этап, 9 класс, второй тур, задача 6

Точки E, F, G, H — середины сторон AB, BC, CD, DA выпуклого четырёхугольника ABCD соответственно, а точки J, K — середины его диагоналей BD и AC соответственно. Прямая, проходящая через точку J параллельно AC, и прямая, проходящая через точку K параллельно BD, пересекаются в точке N. Найдите площадь

Средняя

Планиметрия

Физтех 2026, отборочный этап, 10 класс, первый тур, задача 5

На сторонах параллелограмма ABCD отмечены точки E, F, G и H и соединены отрезками друг с другом и с вершинами параллелограмма, как показано на рисунке. Полученные в результате разбиения параллелограмма многоугольники раскрасили в шахматном порядке. Для всех частей, закрашенных серым цветом, кроме од

Средняя

Планиметрия

Физтех 2023, отборочный этап, 9 класс, четвёртый тур, задача 3

На сторонах AC и AB треугольника ABC взяты точки D и E соответственно, а отрезки BD и CE пересекаются в точке F. Пусть G — такая точка на отрезке AC, что прямая BG делит CF пополам. Известно, что BE=EF=5, CD=DF=10, AG=18. Найдите AE.

Средняя

Планиметрия