Физтех 2023, отборочный этап, 11 класс, третий тур, задача 3

Окружность проходит через вершину треугольника и через его точку пересечения биссектрис , причём прямая касается этой окружности. Пусть и — точки пересечения сторон и соответственно с этой окружностью, а есть точка пересечения стороны с прямой .

а) Найдите , если ; .

б) Найдите радиус окружности, описанной около треугольника , если , . Ответ округлите до трёх знаков после запятой.

Ответ

Ответ. а) ; б) .

Похожие задачи

Физтех 2024, отборочный этап, 10 класс, второй тур, задача 5

В ромбе ABCD с острым углом A продолжение высоты, опущенной из вершины B на сторону AD, пересекает прямую CD в точке P. Известно, что высота ромба равна 1, а CP=dfrac{9√2}{2}. Найдите длину стороны ромба, если известно, что это целое число.

Средняя

Планиметрия

Физтех 2026, отборочный этап, 10 класс, первый тур, задача 7

Четырёхугольник ABCD вписан в окружность ω, а его диагональ AC — биссектриса угла BAD. Найдите радиус окружности ω, если AB=dfrac{√2}{2}, AC=dfrac32, AD=dfrac5{2√2}. Ответ округлите до третьего знака после запятой.

Средняя

Планиметрия

Физтех 2026, отборочный этап, 11 класс, первый тур, задача 7

В окружности ω проведены три хорды AB, AC и AD так, что углы angle BAC и angle DAC равны между собой. Найдите хорду BD, если AB=√2, AC=3, AD=5√2. Ответ округлите до третьего знака после запятой.

Средняя

Планиметрия

Физтех 2026, отборочный этап, 11 класс, третий тур, задача 6

Сколько существует таких прямоугольных треугольников ABC, что в них высота CD, проведённая из вершины прямого угла, связана с гипотенузой AB соотношением 2DC+2=AB, отрезки CD, AD и BD имеют целочисленные длины, а длина гипотенузы AB лежит в промежутке [10,1000]?

Средняя

Планиметрия