Физтех 2026, отборочный этап, 11 класс, первый тур, задача 7

В окружности проведены три хорды , и так, что углы и равны между собой. Найдите хорду , если , , . Ответ округлите до третьего знака после запятой.

Ответ

Ответ. .

Решение. Пусть , , , , . Биссектриса делит дугу пополам, поэтому

По теореме косинусов для треугольников и

Отметим на луче за точку точку такую, что . Из вписанности четырёхугольника следует, что углы и равны, из этого и из равенств и следует, что равны треугольники и . Поэтому , треугольник равнобедренный и подобен треугольнику . Отсюда

Похожие задачи

Физтех 2025, отборочный этап, 11 класс, третий тур, задача 4

Даны два прямых круговых конуса, основания которых — концентрические круги, расположенные в плоскости α. Известно, что конусы расположены по одну сторону от плоскости α, их объёмы равны 1, а отношение радиусов оснований равно 3. Найдите объём общей части конусов. Ответ округлите до четырёх знаков по

Средняя

Планиметрия

Физтех 2026, отборочный этап, 11 класс, первый тур, задача 5

На сторонах параллелограмма ABCD отмечены точки E, F, G, H, K и L, как показано на рисунке. Петя соединил некоторые из точек отрезками и раскрасил полученные многоугольники в шахматном порядке. После этого он написал на всех закрашенных многоугольниках, кроме одного, их площади x₁,ldots,x

Средняя

Планиметрия

Физтех 2023, отборочный этап, 11 класс, четвёртый тур, задача 5

На трёх параллельных прямых ell₁, ell₂, ell₃ взяты точки A₁, A₂, A₃ соответственно. а) Треугольник A₁A₂A₃ равнобедренный. Известно, что расстояние между прямыми ell₁ и ell₂ равно

Средняя

Планиметрия

Физтех 2023, отборочный этап, 11 класс, четвёртый тур, задача 2

Дана правильная четырехугольная пирамида SABCD с вершиной S, в которой AB=14√(42), AS=49√6. Муравей пробежал по всем боковым граням пирамиды, начав путь в вершине A, и вернувшись в эту же вершину. Какой минимальный путь он мог проделать?

Средняя

Планиметрия