Физтех 2024, отборочный этап, 10 класс, второй тур, задача 5

В ромбе с острым углом продолжение высоты, опущенной из вершины на сторону , пересекает прямую в точке . Известно, что высота ромба равна , а . Найдите длину стороны ромба, если известно, что это целое число.

Ответ

Ответ. .

Решение. Пусть , — высота ромба, опущенная на сторону . Из прямоугольных треугольников и получаем, что

Так как стороны ромба равны между собой, получаем уравнение

В силу того что — острый угол, его синус и косинус положительны, поэтому, возводя обе части уравнения в квадрат, получаем эквивалентное исходному уравнение

откуда , или . Следовательно, или . По условию — целое число, и подходит только первый вариант.

Похожие задачи

Физтех 2026, отборочный этап, 9 класс, первый тур, задача 7

Треугольник XYZ равнобедренный (angle XYZ=angle XZY=35^circ). Внутри угла XYZ, но вне треугольника XYZ взята точка P так, что angle XPY=22^circ, а angle ZPY=55^circ. Найдите angle PYX. Ответ дайте в градусах.

Средняя

Планиметрия

Физтех 2023, отборочный этап, 11 класс, третий тур, задача 3

Окружность проходит через вершину B треугольника ABC и через его точку пересечения биссектрис I, причём прямая AI касается этой окружности. Пусть X и Y — точки пересечения сторон AB и BC соответственно с этой окружностью, а Z есть точка пересечения стороны AC с прямой IY. а) Найдите BY, если XI=3,5;

Средняя

Планиметрия

Физтех 2026, отборочный этап, 11 класс, второй тур, задача 6

На двух параллельных прямых взяты точки A, B, C, D, X, как показано на рисунке. Вася нашёл отношение BC:AD=x, после чего отметил точки пересечения медиан P, Q, R соответственно треугольников BAX, CDX и AXD. Петя вычислил площадь треугольника PQR: она оказалась равна S. Найдите площадь треугольника A

Средняя

Планиметрия

Физтех 2023, отборочный этап, 10 класс, первый тур, задача 5

Окружности Ω и ω радиусов 5 и 3 соответственно касаются друг друга внутренним образом в точке T. Прямая ell пересекает окружность ω в точках B и C, а окружность Ω — в точках A и D, причём B лежит между A и C, C лежит между B и D, а центры окружностей лежат по одну сторону от ell. Известно, что AB:BC

Средняя

Планиметрия