Физтех 2026, отборочный этап, 11 класс, третий тур, задача 1

Две окружности и равного радиуса пересекаются в точках и . На окружности выбрана точка , которая не лежит внутри . Луч пересекает в точке , причём лежит на отрезке . Точка симметрична точке относительно точки . Найдите , если , . Ответ округлите до двух знаков после запятой.

Ответ

Ответ. .

Решение. Так как (опираются на дугу в равных окружностях), то треугольник является равнобедренным. Точка равноудалена от , и и является серединой , поэтому треугольник прямоугольный, а . По теореме синусов для треугольника имеем . Остаётся выразить через и подставить в выражение для .

Похожие задачи

Физтех 2026, отборочный этап, 11 класс, первый тур, задача 3

В остроугольном треугольнике a, b, c — длины сторон, а α, β, γ — соответственно противолежащие им углы. Какое наибольшее значение может принимать выражение a(b²+c²)cosα+b(c²+a²)cosβ+c(a²+b²)cosγ, если известно, что abc=2?

Средняя

Планиметрия

Физтех 2024, отборочный этап, 9 класс, второй тур, задача 4

В прямоугольном треугольнике ABC точка D лежит на гипотенузе AB. Площади треугольников BCD и ACD равны 4 и 1 соответственно. В треугольнике ACD проведена высота DH. Найдите площадь четырёхугольника BCHD.

Средняя

Планиметрия

Физтех 2023, отборочный этап, 9 класс, второй тур, задача 2

Точка F лежит на катете KP прямоугольного треугольника KPM, периметр которого равен 45. Окружность радиуса 5 с центром в точке F касается гипотенузы PM и катета KM. Найдите все возможные значения KM. Если их несколько, запишите в ответе их сумму.

Средняя

Планиметрия

Физтех 2024, отборочный этап, 10 класс, второй тур, задача 5

В ромбе ABCD с острым углом A продолжение высоты, опущенной из вершины B на сторону AD, пересекает прямую CD в точке P. Известно, что высота ромба равна 1, а CP=dfrac{9√2}{2}. Найдите длину стороны ромба, если известно, что это целое число.

Средняя

Планиметрия