Физтех 2026, отборочный этап, 11 класс, третий тур, задача 7

В остроугольном треугольнике проведена высота , а затем на отрезке как на диаметре построена окружность. Точки , и отмечены, как показано на рисунке. Найдите отношение , если и .

Рисунок к условию

Ответ

Ответ. .

Решение. Пусть , а . Тогда, по теореме о вписанном угле, и . Так как — диаметр, то . Поэтому и .

По теореме синусов для треугольника имеем:

По теореме синусов, применённой к треугольнику , аналогично получим, что

Перемножая полученные равенства, имеем

Однако из прямоугольных треугольников и получаем, что

Поэтому

Похожие задачи

Физтех 2026, отборочный этап, 10 класс, второй тур, задача 1

В треугольнике на приведённом чертеже площади triangle ADE и triangle BFE равны 4, а площадь triangle FDE равна 2. Найдите площадь triangle CDF. Рисунок к условию

Средняя

Планиметрия

Физтех 2026, отборочный этап, 11 класс, второй тур, задача 2

Петя нарисовал на плоскости прямоугольный треугольник ABC с катетами AB=√3, AC=4. Вася последовательно передвигает сначала точку A вдоль прямой, параллельной BC, затем точку B вдоль прямой, параллельной (новой) AC, а затем C вдоль прямой, параллельной (новой) прямой AB. Обозначим полученный Васей тр

Средняя

Планиметрия

Физтех 2026, отборочный этап, 11 класс, третий тур, задача 6

Сколько существует таких прямоугольных треугольников ABC, что в них высота CD, проведённая из вершины прямого угла, связана с гипотенузой AB соотношением 2DC+2=AB, отрезки CD, AD и BD имеют целочисленные длины, а длина гипотенузы AB лежит в промежутке [10,1000]?

Средняя

Планиметрия

Физтех 2026, отборочный этап, 11 класс, второй тур, задача 6

На двух параллельных прямых взяты точки A, B, C, D, X, как показано на рисунке. Вася нашёл отношение BC:AD=x, после чего отметил точки пересечения медиан P, Q, R соответственно треугольников BAX, CDX и AXD. Петя вычислил площадь треугольника PQR: она оказалась равна S. Найдите площадь треугольника A

Средняя

Планиметрия