Физтех 2026, отборочный этап, 11 класс, второй тур, задача 4

Треугольник вписан в окружность радиуса , а — точка пересечения его биссектрис. Известно, что площадь треугольника и площадь четырёхугольника равны (см. рисунок). Найдите наибольшее значение произведения , если .

Рисунок к условию

Ответ

Ответ. .

Решение. Обозначим , , . Из условия следует, что . Первая площадь составляет от площади , а вторая — долю от той же площади. Значит,

откуда . С помощью теоремы синусов получаем .

Похожие задачи

Физтех 2026, отборочный этап, 11 класс, второй тур, задача 2

Петя нарисовал на плоскости прямоугольный треугольник ABC с катетами AB=√3, AC=4. Вася последовательно передвигает сначала точку A вдоль прямой, параллельной BC, затем точку B вдоль прямой, параллельной (новой) AC, а затем C вдоль прямой, параллельной (новой) прямой AB. Обозначим полученный Васей тр

Средняя

Планиметрия

Физтех 2025, отборочный этап, 9 класс, первый тур, задача 4

Точка E лежит на стороне AB прямоугольника ABCD, и при этом angle CED=90^circ. Точки O, P, Q являются центрами окружностей, описанных около треугольников ADE, BCE, CDE соответственно. Найдите площадь прямоугольника ABCD, если OQ=20, OP=29.

Средняя

Планиметрия

Физтех 2026, отборочный этап, 10 класс, первый тур, задача 5

На сторонах параллелограмма ABCD отмечены точки E, F, G и H и соединены отрезками друг с другом и с вершинами параллелограмма, как показано на рисунке. Полученные в результате разбиения параллелограмма многоугольники раскрасили в шахматном порядке. Для всех частей, закрашенных серым цветом, кроме од

Средняя

Планиметрия

Физтех 2023, отборочный этап, 11 класс, четвёртый тур, задача 2

Дана правильная четырехугольная пирамида SABCD с вершиной S, в которой AB=14√(42), AS=49√6. Муравей пробежал по всем боковым граням пирамиды, начав путь в вершине A, и вернувшись в эту же вершину. Какой минимальный путь он мог проделать?

Средняя

Планиметрия