МОШ 2026, 9 класс, задача 2
Дан остроугольный треугольник . На его описанной окружности отмечена точка , диаметрально противоположная вершине . Точки и на стороне таковы, что и (точка лежит на отрезке ). Докажите, что — биссектриса угла .
(А. Доледенок)
Решение 1. Пусть — центр описанной окружности треугольника . Рассмотрим треугольники и . В них как радиусы, по условию, — общая сторона, поэтому они равны по трём сторонам (рис. 1). Следовательно, . Аналогично треугольники и равны по трём сторонам, поэтому .
Но треугольник равнобедренный, поэтому , то есть , что и требовалось доказать.
Решение 2. Так как треугольник равнобедренный, то . Тогда
Из равнобедренности треугольника следует, что
Таким образом, . Так как это выражение симметрично относительно перестановки вершин и , то, аналогично найдя , мы получим ту же величину. Следовательно, , что и требовалось доказать.
Решение 3. Продлим прямые и до повторного пересечения с окружностью в точках и соответственно (рис. 3). Так как из равнобедренностей треугольников следуют равенства вписанных углов и , то равны и дуги, на которые они опираются: и . Воспользовавшись равенством полуокружностей, образованных диаметром , получим равенство дуг
Но тогда равны и вписанные углы и , опирающиеся на эти дуги, что и требовалось доказать.