Физтех 2026, отборочный этап, 9 класс, первый тур, задача 9

Рассматривают все непустые подмножества множества . Для каждого из них находят среднее арифметическое всех чисел этого подмножества. Найдите среднее арифметическое всех этих средних арифметических.

Ответ

Ответ. .

Решение. Разобьём все подмножества, кроме , на пары и . Сумма и среднее арифметическое средних значений в любой такой паре равна и соответственно. Среднее значение во множестве также равно . Поэтому среднее значение всех средних значений равно .

Похожие задачи

Физтех 2026, отборочный этап, 9 класс, второй тур, задача 10

Двести школьников собирают наклейки, среди которых есть наклейки редких видов. Оказалось, что у каждого школьника есть наклейки ровно двух редких видов, и для каждого редкого вида наклеек найдётся школьник, у которого есть наклейка такого вида. Также известно, что каких бы 10 школьников ни взять, на

Средняя

Комбинаторика

Физтех 2023, отборочный этап, 10 класс, первый тур, задача 2

Сколькими способами в прямоугольнике 5 × 15 можно разместить две кости домино 1 × 2, каждая из которых покрашена в два цвета — чёрный и белый? Замечание. Каждая кость занимает две соседние клетки: на одной чёрная часть кости, а на другой — белая.

Средняя

Комбинаторика

Физтех 2025, отборочный этап, 9 класс, первый тур, задача 5

Есть 300 карточек с числами от 1 до 300 (на каждой карточке написано ровно одно число, числа на карточках попарно различны). Сколькими способами можно выбрать три карточки, чтобы сумма чисел на них была кратна 3?

Средняя

Комбинаторика

Физтех 2025, отборочный этап, 9 класс, второй тур, задача 3

Назовём натуральное четырёхзначное число хорошим, если оно имеет в своей записи ровно две различные цифры, причём эти цифры имеют одну чётность. Найдите количество хороших чисел.

Средняя

Комбинаторика