Физтех 2025, отборочный этап, 9 класс, первый тур, задача 5

Есть карточек с числами от до (на каждой карточке написано ровно одно число, числа на карточках попарно различны). Сколькими способами можно выбрать три карточки, чтобы сумма чисел на них была кратна ?

Ответ

Ответ. .

Решение. Найдём количество способов выбрать три карточки (без повторений), содержащие натуральные числа от до так, чтобы сумма чисел на карточках делилась на . Все наборы разобьём на два класса: к первому отнесём все те тройки, в которых остатки всех трёх чисел от деления на одинаковы, а ко второму — тройки, в которых все три остатка от деления на встречаются по одному разу. Общее число способов из первого класса равно , а из второго, соответственно, . Получаем ответ . При получаем .

Похожие задачи

Физтех 2023, отборочный этап, 9 класс, третий тур, задача 4

Дана клетчатая прямоугольная доска размера 10 × 12. За один ход фишку можно передвинуть либо на одну клетку вправо, либо на одну клетку вверх. Сколькими способами можно переместить фишку из левого нижнего угла доски (клетка с координатами (1;1)) в правый верхний угол (клетка с координатами (10;12)),

Средняя

Комбинаторика

Физтех 2026, отборочный этап, 10 класс, первый тур, задача 8

В течение 2N дней Петя планирует готовиться к экзаменам по N различным предметам, среди которых есть математика, физика и информатика. К каждому из экзаменов он будет готовиться ровно два дня, причём ни к математике, ни к физике, ни к информатике он не хочет готовиться два дня подряд, а каждый день

Средняя

Комбинаторика

Физтех 2026, отборочный этап, 9 класс, первый тур, задача 9

Рассматривают все непустые подмножества множества {1;2;ldots;150}. Для каждого из них находят среднее арифметическое всех чисел этого подмножества. Найдите среднее арифметическое всех этих средних арифметических.

Средняя

Комбинаторика

Физтех 2026, отборочный этап, 10 класс, первый тур, задача 3

Маша пишет в ряд крестики и нолики — всего 1000 символов. Оказалось, что количество символов между любыми двумя ноликами отлично от 12. Какое наибольшее количество ноликов могла написать Маша?

Средняя

Комбинаторика