ПВГ 2025, 11 класс, задача 10 (творческая IV)
Три окружности с центрами , и попарно касаются друг друга внешним образом и находятся в полосе между находящимися на расстоянии друг от друга параллельными прямыми и так, что прямая касается первых двух окружностей и не имеет общих точек с третьей, а прямая касается первой и третьей окружностей и не имеет общих точек со второй. При этом .
Найдите наименьшее возможное значение функции , где — площадь , а — радиус вписанной в окружности. При необходимости округлите ответ до сотых. Если решения нет в ответе укажите .
.
Ответ
Ответ: .
Решение. Пусть радиус большего круга — , среднего круга — , меньшего — , . Решим для .
1. Докажем, что . Для этого напишем теорему Пифагора в треугольнике (см. рис. ). Отсюда и получаем желаемое равенство.
2. В треугольнике из теоремы косинусов вытекает:
Обозначим , используя получаем
После подстановки косинуса , получаем уравнение уравнение третьей степени:
которое равносильно следующему
Следовательно . Поэтому .
3. Поскольку , то площадь треугольника :
Полупериметр треугольника равен . Поскольку , , то