МОШ 2026, 11 класс, задача 2
Пусть — центр вписанной окружности треугольника . На сторонах и взяли точки и соответственно так, что прямая перпендикулярна , а параллельна . Докажите, что треугольник — равнобедренный.
(М. Евдокимов)
Ответ
Решение. Первый способ. Пусть точка симметрична точке относительно биссектрисы , а точка симметрична точке относительно биссектрисы . Тогда проходит через середины отрезков и , а значит содержит среднюю линию треугольника , параллельную стороне . Поэтому прямая параллельна , откуда следует, что точка из условия совпадает с . Так как перпендикулярна , получаем также, что угол равен . Осталось заметить, что является медианой в прямоугольном треугольнике , а значит , что и требовалось доказать.
Второй способ. Заметим, что
Тогда
откуда следует, что точка , , и лежат на одной окружности . Поскольку — биссектриса угла , то — середина дуги окружности , откуда следует, что .
