Всесиб 2024, отборочный этап, 11 класс, задача 4
( баллов) Найдите все тройки натуральных чисел такие, что числа , , являются квадратами натуральных чисел.
Ответ
Ответ. , , .
Решение. Следующими после квадрата являются квадраты и , поэтому должно совпадать с , откуда . Аналогично, . Из нечётности следует нечётность , тогда , . Из нечётности следует нечётность , откуда уже следует чётность . Тогда , , , .
Подставляем эти выражения в , получаем, что
должно быть точным квадратом. Смотрим квадраты, следующие за
это будут
и
что уже больше . Следовательно, должно совпадать с либо с . В первом случае , что невозможно, во втором случае получаем , что даёт единственное решение задачи , , .