Покори Воробьёвы горы! 2021, 10-11 классы, задача 4
Решите систему
Ответ: , , и , , .
Решение. Умножив первое уравнение на , второе - на , третье - на и сложив, получаем уравнение-следствие:
Подстановка в систему приводит к ответу: , , и , , .
У задачи имеются и другие способы решения. Одно из них следующее. Так как , , , то можно преобразовать левые части уравнений:
Введем обозначение , тогда получаем линейную систему
Первое уравнение умножим на и прибавим ко второму, а также второе уравнение умножим на () и прибавим к умноженному на третьему.
Получим новую равносильную систему
Выразив из последнего уравнения и подставив его во второе уравнение, получим .
После этого находятся , .
Так как у нас , то , откуда .
Поэтому получается две тройки решений: , , и , , .
Критерии. Было очень много правильных ответов, полученных подбором. Но если не доказано, что других корней нет, то задачу нельзя считать решенной. Это оценивалось, максимум, в баллов.
Также очень часто за чередой каких-то преобразований делались ни на чем не основанные выводы: «очевидно, что » и т. п. В этих случаях оценка также не превышала баллов.
Большинство правильных решений было той или иной вариацией второго из указанных выше способов. Идея первого способа решения встретилась только в нескольких работах (но почти во всех этих решениях, к сожалению, были те или иные недочеты).