Покори Воробьёвы горы 2021, 10-11 классы, задача 4

Ответ: , , и , , .

Решение. Умножив первое уравнение на , второе - на , третье - на и сложив, получаем уравнение-следствие:

Подстановка в систему приводит к ответу: , , и , , .

У задачи имеются и другие способы решения. Одно из них следующее. Так как , , , то можно преобразовать левые части уравнений:

Введем обозначение , тогда получаем линейную систему

Первое уравнение умножим на и прибавим ко второму, а также второе уравнение умножим на () и прибавим к умноженному на третьему.

Получим новую равносильную систему

Выразив из последнего уравнения и подставив его во второе уравнение, получим .

После этого находятся , .

Так как у нас , то , откуда .

Поэтому получается две тройки решений: , , и , , .

Критерии. Было очень много правильных ответов, полученных подбором. Но если не доказано, что других корней нет, то задачу нельзя считать решенной. Это оценивалось, максимум, в баллов.

Также очень часто за чередой каких-то преобразований делались ни на чем не основанные выводы: «очевидно, что » и т. п. В этих случаях оценка также не превышала баллов.

Большинство правильных решений было той или иной вариацией второго из указанных выше способов. Идея первого способа решения встретилась только в нескольких работах (но почти во всех этих решениях, к сожалению, были те или иные недочеты).