Покори Воробьевы горы 2025, 11 класс, задача 1
Вопрос: Однородный цилиндр скатывается без проскальзывания с высоты в поле тяжести . Найдите скорость его оси в конце скатывания.
Задача: Вертикальное однородное колесо - полый цилиндр массой с внешним радиусом и внутренним /2 (масса спиц и втулки пренебрежимо малы) - может вращаться без трения вокруг закрепленной горизонтальной оси, проходящей через его центр. Его раскрутили до угловой скорости в направлении, показанном на рисунке, а затем аккуратно опустили на него конец стержня массой , подвешенного шарнирно за другой конец. Стержень опирается на верхнюю точку диска, трения в шарнире нет, и в этом положении стержень составляет угол = с вертикалью. Диск совершил ровно оборотов до полной остановки. Затем опыт повторили, но на этот раз диск раскрутили до той же угловой скорости в противоположном направлении. Сколько оборотов совершит до полной остановки диск на этот раз? Сопротивлением воздуха пренебречь. Коэффициент трения между концом стержня и боковой поверхностью диска = 0,3.
Ответ
Ответ на вопрос: При скатывании без проскальзывания работа силы трения равна нулю, и убыль потенциальной энергии цилиндра в поле тяжести равна его приобретенной кинетической энергии. По теореме Кенига кинетическая энергия цилиндра складывается из энергий поступательного и вращательного движений. В отсутствие проскальзывания скорость движения оси цилиндра радиуса относительно поверхности связана с угловой скоростью его вращения вокруг оси симметрии, проходящей через центр масс, соотношением . Следовательно:
Здесь учтено, что момент инерции однородного цилиндра .
Решение задачи: Вращение колеса тормозится силой трения со стороны стержня. Сам стержень при этом находится в равновесии под действием силы тяжести, силы реакции шарнира, силы нормальной реакции колеса и «ответной» силы трения. Последняя до самой остановки является силой трения скольжения, и ее величина равна . Обозначим длину стержня , и для первого опыта запишем для него условие равновесия моментов сил относительно оси шарнира:
Колесо остановится, когда работа этой силы заберет у колеса всю его кинетическую энергию, то есть
Здесь - момент инерции колеса относительно оси симметрии. Во втором опыте (при изменении направления начального вращения) направления сил трения между колесом и стержнем изменяются на противоположные, и в этих уравнениях изменяется только знак слагаемого с . Поэтому в этом случае число оборотов колеса до остановки
Ответ: Во втором опыте колесо совершит оборотов.