Покори Воробьевы горы 2025, 11 класс, задача 1
Вопрос: Однородный цилиндр скатывается без проскальзывания с высоты в поле тяжести . Найдите скорость его оси в конце скатывания.
Задача: Вертикальное однородное колесо - полый цилиндр массой с внешним радиусом и внутренним /2 (масса спиц и втулки пренебрежимо малы) - может вращаться без трения вокруг закрепленной горизонтальной оси, проходящей через его центр. Его раскрутили до угловой скорости в направлении, показанном на рисунке, а затем аккуратно опустили на него конец стержня массой , подвешенного шарнирно за другой конец. Стержень опирается на верхнюю точку диска, трения в шарнире нет, и в этом положении стержень составляет угол = с вертикалью. Диск совершил ровно оборотов до полной остановки. Затем опыт повторили, но на этот раз диск раскрутили до той же угловой скорости в противоположном направлении. Сколько оборотов совершит до полной остановки диск на этот раз? Сопротивлением воздуха пренебречь. Коэффициент трения между концом стержня и боковой поверхностью диска = 0,3.
Ответ на вопрос: При скатывании без проскальзывания работа силы трения равна нулю, и убыль потенциальной энергии цилиндра в поле тяжести равна его приобретенной кинетической энергии. По теореме Кенига кинетическая энергия цилиндра складывается из энергий поступательного и вращательного движений. В отсутствие проскальзывания скорость движения оси цилиндра радиуса относительно поверхности связана с угловой скоростью его вращения вокруг оси симметрии, проходящей через центр масс, соотношением . Следовательно:
Здесь учтено, что момент инерции однородного цилиндра .
Решение задачи: Вращение колеса тормозится силой трения со стороны стержня. Сам стержень при этом находится в равновесии под действием силы тяжести, силы реакции шарнира, силы нормальной реакции колеса и «ответной» силы трения. Последняя до самой остановки является силой трения скольжения, и ее величина равна . Обозначим длину стержня , и для первого опыта запишем для него условие равновесия моментов сил относительно оси шарнира:
Колесо остановится, когда работа этой силы заберет у колеса всю его кинетическую энергию, то есть
Здесь - момент инерции колеса относительно оси симметрии. Во втором опыте (при изменении направления начального вращения) направления сил трения между колесом и стержнем изменяются на противоположные, и в этих уравнениях изменяется только знак слагаемого с . Поэтому в этом случае число оборотов колеса до остановки
Ответ: Во втором опыте колесо совершит оборотов.
Есть неверный ответ с частично правильной терминологией.
Есть разумные соображения.
В основном все правильно, но есть заметные неточности или ответ неполон.
Правильный ответ с мелкими недочетами или недостаточно обоснованный.
Полный, правильный и обоснованный ответ.
указано, что колесо тормозится силой трения о стержень
указано, что вплоть до остановки это сила трения скольжения
используются правильные условия равновесия стержня
правильно описан процесс торможения (записано правильное уравнение ЗСЭ или правильный закон равнозамедленного вращательного движения колеса)
правильно описаны различия в условиях остановки при разном направлении вращения
правильно найдена величина силы трения стержня и колеса (через массу, коэффициент трения и угол)
получено правильное выражение для числа оборотов до остановки в обоих опытах
получен правильный аналитический ответ
получен правильный численный ответ