Покори Воробьевы горы 2025, 10 класс, задача 1
Вопрос: Однородный тонкостенный цилиндр скатывается без проскальзывания с высоты в поле тяжести . Найдите скорость его оси в конце скатывания.
Задача: Вертикальное колесо с тонкостенным ободом массой (масса спиц и втулки колеса пренебрежимо мала) и радиусом может вращаться без трения вокруг закрепленной горизонтальной оси, проходящей через его центр. Его раскрутили до угловой скорости в направлении, показанном на рисунке, а затем аккуратно опустили на него конец стержня массой , подвешенного шарнирно за другой конец. Стержень опирается на верхнюю точку обода, трения в шарнире нет, и в этом положении стержень составляет угол = с вертикалью. Колесо совершило ровно оборотов до полной остановки. Затем опыт повторили, но на этот раз колесо раскрутили до той же угловой скорости в противоположном направлении. Сколько оборотов оно совершит до полной остановки на этот раз? Сопротивлением воздуха пренебречь. Коэффициент трения между концом стержня и поверхностью обода .
Ответ
Ответ на вопрос: При скатывании без проскальзывания работа силы трения равна нулю, и убыль потенциальной энергии цилиндра в поле тяжести равна его приобретенной кинетической энергии. По теореме Кенига кинетическая энергия цилиндра складывается из энергий поступательного и вращательного движений. В отсутствие проскальзывания скорость движения оси цилиндра радиуса относительно поверхности связана с угловой скоростью его вращения вокруг оси симметрии, проходящей через центр масс, соотношением . В тонкостенном цилиндре все его массивные элементы находятся на расстоянии от оси вращения, и во вращательном движении имеют точно такие же скорости, как и в поступательном. Поэтому учет энергии вращения у такого цилиндра сводится к удвоению кинетической энергии. Следовательно:
Решение задачи: Вращение колеса тормозится силой трения со стороны стержня. Сам стержень при этом находится в равновесии под действием силы тяжести, силы реакции шарнира, силы нормальной реакции колеса и «ответной» силы трения. Последняя до самой остановки является силой трения скольжения, и ее величина равна . Обозначим длину стержня , и для первого опыта запишем для него условие равновесия моментов сил относительно оси шарнира:
Колесо остановится, когда работа этой силы заберет у колеса с массой всю его кинетическую энергию, то есть
Во втором опыте (при изменении направления начального вращения) направления сил трения между колесом и стержнем изменяются на противоположные, и в этих уравнениях изменяется только знак слагаемого с . Поэтому в этом случае число оборотов колеса до остановки
Ответ: Во втором опыте колесо совершит оборотов.