Покори Воробьевы горы 2022, 10 класс, задача 1
Вопрос: Гантель из двух маленьких шариков, соединенных прямым жестким стержнем длиной см, скользит по ровной поверхности. В некоторый момент времени один из шариков движется со скоростью м/с под углом к стержню, а скорость другого направлена под углом к стержню. Найти угловую скорость вращения гантели в этот момент времени.
Задача: Кот Леопольд добрался до середины длинной лестницы, один из концов которой опирался о горизонтальный пол, а другой - о стену, составляющую с полом прямой двугранный угол, и остановился передохнуть. В этот момент мыши потащили нижний конец лестницы от стены с постоянным ускорением . Найти скорость и ускорение кота Леопольда в момент времени (время отсчитывается от начала движения лестницы, - длина лестницы), когда лестница проходила положение, в котором она составляла угол с полом.
Ответ на вопрос: Описанная гантель является твердым телом, совершающим плоскопараллельное движение. Проекции скоростей двух точек твердого тела на соединяющую их прямую обязательно должны быть одинаковы, поэтому для шариков A () и B:
Ясно, что за малый интервал времени все точки такого тела должны поворачиваться на один и тот же угол, поэтому угловую скорость твердого тела можно считать характеристикой, относящейся ко всему телу. Скорости A и B можно представить как сумму скоростей поступательного движения ( одинакова для всех точек тела) и вращательного движения:
и поэтому . Модуль каждой из вращательных скоростей равен произведению величины угловой скорости на радиус, а угол между векторами вращательных скоростей равен углу между радиусами. Поэтому
Таким образом, . В нашем случае для шариков, скорости которых взаимно перпендикулярны,
Примечание: У твердого тела существует мгновенный центр (мгновенная ось) вращения. При плоском движении его можно найти как точку пересечения перпендикуляров к скоростям двух точек. Поэтому МЦВ гантели находится на расстоянии от шарика A. Значит, угловая скорость вращения гантели рад/с. Такой метод обоснования ответа в данном вопросе также допустим.
Решение задачи: Поскольку Леопольд (точка Л) находится на середине лестницы, то его координата в проекции на горизонтальную ось всегда равна половине координаты нижнего конца (Н), который движется с постоянным ускорением от нулевой начальной скорости. Поэтому проекции на эту ось его скорости и ускорения известны:
С другой стороны, в процессе движения расстояние между Л и вершиной угла неизменно и равно , то есть Леопольд движется по окружности (см. рисунок), и его скорость направлена по касательной к этой окружности.
В указанный момент времени , вектор скорости Л направлен под углом к горизонтали (вниз), и поэтому
Ускорение Леопольда можно разложить в сумму касательного и центростремительного ускорений, причем величина центростремительного ускорения
Значит, проекция на ось касательного ускорения
Следовательно,
Направление вектора ускорения кота Леопольда можно задать величиной угла его наклона к вертикали:
Некоторые участники могут даже заметить (из геометрии или тригонометрии), что это в точности угол рад .
Ответ: , эта скорость направлена вдоль лестницы (вниз), , ускорение направлено под углом рад к вертикали (вправо-вниз по рисунку).
Есть отдельные правильные соображения - балл.
Ответ в целом правилен, но содержит существенные неточности, или существенно неполон, или отсутствует обоснование (для вопросов, в которых необходимо обоснование) - балла.
Ответ правилен, но присутствуют мелкие неточности, или ответ недостаточно полон, или отсутствует достаточное обоснование (для вопросов, в которых необходимо обоснование) - балла.
Ответ полностью правильный, но недостаточно обоснованный (для вопросов, в которых необходимо обоснование) - балла.
Правильный, полный и обоснованный ответ - баллов (максимальная оценка).
Есть отдельные правильные соображения - - балла.
Есть часть необходимых для решения соображений, решение не закончено или содержит серьезные ошибки - - балла.
Присутствует большая часть необходимых для решения соображений, правильно записана часть необходимых соотношений, решение не закончено или содержит ошибки - - баллов.
Присутствуют все необходимые для решения соображения, правильно записаны почти все необходимые для решения исходные уравнения, но решение не закончено или содержит ошибки - - баллов.
Присутствуют все необходимые для решения соображения, правильно записаны все необходимые для решения исходные уравнения, решение выстроено правильно с физической и логической точки зрения, но содержит ошибки - - баллов.
Присутствуют все необходимые для решения соображения, правильно записаны все необходимые для решения исходные уравнения, решение выстроено правильно с физической и логической точки зрения, но содержит одну-две мелкие неточности, не позволившие получить правильный ответ, или правильное решение с недостаточным обоснованием существенных использованных результатов - - баллов.
Правильное обоснованное решение с верным аналитическим ответом, но мелкой неточностью при получении численного ответа, либо правильное решение с правильными ответами с недостаточным обоснованием одного из использованных результатов (из числа не ключевых для решения, но необходимых) - - баллов.
Полное, правильное, обоснованное решение с правильными ответами - баллов (максимальная оценка).