Покори Воробьевы горы 2023, 10 класс, задача 3
Вопрос: Комета вращается по эллиптической орбите, на которой максимальное расстояние до Солнца в раз больше минимального, а минимальная скорость кометы равна км/с. Чему равна максимальная скорость кометы на этой орбите? Ответ обосновать.
Задача: Положительно заряженный ион движется по эллиптической орбите вокруг маленького отрицательно заряженного шарика. Движение происходит в вакуумной камере большого размера. На первоначальной орбите максимальное расстояние от шарика до иона было в раз больше минимального. Затем в точке орбиты, на которой это расстояние минимально, установили небольшую ускорительную камеру, которая не изменяет направление движения иона, но при каждом прохождении увеличивает его механическую энергию на одну и ту же величину. После первого прохождения камеры соотношение максимального и минимального расстояний между ионом и шариком увеличилось до . Каким станет это соотношение после -го прохождения ионом ускорительной камеры? После какого по счету прохождения ион не вернется к камере? Потери на сопротивление среды отсутствуют, потерями на излучение пренебречь.
Ответ на вопрос: Максимальное и минимальное расстояние соответствуют апогелию (афелию) и перигелию орбиты кометы, то есть симметричным точкам эллипса, расположенных на концах его большой оси. Поэтому радиусы кривизны траектории в этих точках одинаковы. Записав с учетом закона тяготения Ньютона уравнения для центростремительной компоненты ускорения в этих точках, найдем соотношение соответствующих скоростей:
Таким образом, км/с.
Решение задачи: Для начала вспомним два важных свойства эллипса. Начнем с его определяющего свойства: сумма расстояний до фокусов эллипса до любой его точки постоянна и равна удвоенной длине большой полуоси. По аналогии с I законом Кеплера понимаем, что заряженный шарик находится в фокусе эллиптической орбиты иона, и поэтому ясно, что расстояние от шарика до иона при прохождении точки (находящейся на конце малой полуоси - см. рисунок) равно . Второе свойство - что эллипс можно рассматривать как окружность радиуса , сжатую вдоль направления малой оси в раз. При таком сжатии длина «очень малого» участка эллипса вокруг точки не изменяется, а угол, на который поворачивается касательная к эллипсу на этом участке, уменьшается в раз. Следовательно, радиус кривизны эллипса в точке равен
Значит, если записать уравнение для центростремительного ускорения иона в точке , то можно выразить его скорость в этой точке через длину большой полуоси:
(здесь и - разноименные заряды иона и шарика, и - масса иона). С другой стороны, постоянная полная энергия иона на данной орбите
Как видно, мы можем связать энергию иона с отношением
поскольку
то
На первоначальной орбите
так что
После включения ускорительной камеры энергия и орбита иона изменяются, но остается неизменным (ион вылетает из нее перпендикулярно радиусу, так что это точка остается «перигелием» его орбиты). Пусть на каждом прохождении камеры энергия иона увеличивается на . Тогда после одного прохождения
а после прохождений
Из этого уравнения находим, что
Как видно, после -го прохождения ионом ускорительной камеры , а , то есть после прохождения ускорительной камеры ион перейдет на незамкнутую (на самом деле параболическую) орбиту и не вернется к ускорительной камере.
Ответ: После пятого прохождения ионом ускорительной камеры , и после десяти прохождения ускорительной камеры ион перейдет на параболическую орбиту и не вернется к ускорительной камере.
Есть отдельные правильные соображения.
Ответ в целом правилен, но содержит существенные неточности, или существенно неполон, или отсутствует обоснование.
Ответ правилен, но присутствуют мелкие неточности, или ответ недостаточно полон, или отсутствует достаточное обоснование.
Ответ полностью правильный, но недостаточно обоснованный.
Правильный, полный и обоснованный ответ.
Указано, что заряженный шарик находится в фокусе эллиптической орбиты иона
Указано и обосновано, что после прохождения ускорительной камеры не изменяется, а растет
Верно указан радиус кривизны эллипса в «удобной» точке
Верно записано уравнение для центростремительной компоненты ускорения в «удобной» точке
Полная энергия иона на орбите вычисляется по его скорости и положению «удобной» точки
Получена правильная аналитическая связь энергии иона с отношением
Правильно найден закон изменения этого отношения (получена формула, эквивалентная )
Получен правильный численный ответ
Сделан правильный вывод, что ион не вернется к ускорительной камере после десятого прохождения