Покори Воробьевы горы 2023, 10 класс, задача 3
Вопрос: Комета вращается по эллиптической орбите, на которой максимальное расстояние до Солнца в раз больше минимального, а минимальная скорость кометы равна км/с. Чему равна максимальная скорость кометы на этой орбите? Ответ обосновать.
Задача: Положительно заряженный ион движется по эллиптической орбите вокруг маленького отрицательно заряженного шарика. Движение происходит в вакуумной камере большого размера. На первоначальной орбите максимальное расстояние от шарика до иона было в раз больше минимального. Затем в точке орбиты, на которой это расстояние минимально, установили небольшую ускорительную камеру, которая не изменяет направление движения иона, но при каждом прохождении увеличивает его механическую энергию на одну и ту же величину. После первого прохождения камеры соотношение максимального и минимального расстояний между ионом и шариком увеличилось до . Каким станет это соотношение после -го прохождения ионом ускорительной камеры? После какого по счету прохождения ион не вернется к камере? Потери на сопротивление среды отсутствуют, потерями на излучение пренебречь.
Ответ
Ответ на вопрос: Максимальное и минимальное расстояние соответствуют апогелию (афелию) и перигелию орбиты кометы, то есть симметричным точкам эллипса, расположенных на концах его большой оси. Поэтому радиусы кривизны траектории в этих точках одинаковы. Записав с учетом закона тяготения Ньютона уравнения для центростремительной компоненты ускорения в этих точках, найдем соотношение соответствующих скоростей:
Таким образом, км/с.
Решение задачи: Для начала вспомним два важных свойства эллипса. Начнем с его определяющего свойства: сумма расстояний до фокусов эллипса до любой его точки постоянна и равна удвоенной длине большой полуоси. По аналогии с I законом Кеплера понимаем, что заряженный шарик находится в фокусе эллиптической орбиты иона, и поэтому ясно, что расстояние от шарика до иона при прохождении точки (находящейся на конце малой полуоси - см. рисунок) равно . Второе свойство - что эллипс можно рассматривать как окружность радиуса , сжатую вдоль направления малой оси в раз. При таком сжатии длина «очень малого» участка эллипса вокруг точки не изменяется, а угол, на который поворачивается касательная к эллипсу на этом участке, уменьшается в раз. Следовательно, радиус кривизны эллипса в точке равен
Значит, если записать уравнение для центростремительного ускорения иона в точке , то можно выразить его скорость в этой точке через длину большой полуоси:
(здесь и - разноименные заряды иона и шарика, и - масса иона). С другой стороны, постоянная полная энергия иона на данной орбите
Как видно, мы можем связать энергию иона с отношением
поскольку
то
На первоначальной орбите
так что
После включения ускорительной камеры энергия и орбита иона изменяются, но остается неизменным (ион вылетает из нее перпендикулярно радиусу, так что это точка остается «перигелием» его орбиты). Пусть на каждом прохождении камеры энергия иона увеличивается на . Тогда после одного прохождения
а после прохождений
Из этого уравнения находим, что
Как видно, после -го прохождения ионом ускорительной камеры , а , то есть после прохождения ускорительной камеры ион перейдет на незамкнутую (на самом деле параболическую) орбиту и не вернется к ускорительной камере.
Ответ: После пятого прохождения ионом ускорительной камеры , и после десяти прохождения ускорительной камеры ион перейдет на параболическую орбиту и не вернется к ускорительной камере.