Покори Воробьевы горы 2023, 10 класс, задача 1
Вопрос: Гантель из двух маленьких шайб, соединенных прямым жестким стержнем длины
скользит по ровной поверхности. В некоторый момент времени шайбы движутся
перпендикулярно стержню в одну сторону со скоростями и . С какой угловой скоростью
вращается стержень гантели в этот момент времени? Ответ объяснить.
Задача: Гантель из двух одинаковых массивных маленьких шайб, соединенных легким прямым гладким жестким стержнем, покоилась на гладкой горизонтальной поверхности. Еще одна маленькая однородная цилиндрическая шайба скользила по этой поверхности со скоростью и нанесла упругий удар по стержню гантели в его середине - точке . Угол падения (между и нормалью к стержню в точке удара) был равен , а угол отражения (см. рисунок) . После этого гантель вернули на место, и ту же шайбу запустили еще раз - с той же скоростью , но так, что теперь удар пришелся в точку , находящуюся на расстоянии от центра стержня. Найдите величину угла отражения шайбы при этом ударе.
Ответ на вопрос: Ясно, что если скорость мгновенного центра вращения гантели равна , то она направлена в ту же сторону, что и скорости шайб, причем
Значит,
Решение задачи: Первый удар является центральным, и гантель не начнет вращаться. Действительно, из ответа на вопрос следует, что скорости шайб сразу после удара будут одинаковы, что также соответствует поступательному движению. Пусть - величина скорости налетавшей шайбы после удара, а - скорости каждой из шайб (и, соответственно скорость центра масс гантели). Закон сохранения импульса в проекции на оси (перпендикулярно стержню) и (вдоль стержня) имеют вид ( - масса налетавшей шайбы, и - масса каждой из шайб модели):
Здесь использовано знание углов падения и отражения:
С учетом закона сохранения энергии
находим, что .
Второй удар - нецентральный, и угловая скорость вращения гантели после удара отлична от нуля. Обозначим ее . Если теперь - скорость центра масс гантели после удара, то скорости шайб сразу после удара
Пусть теперь - сила, действующая на стержень во время удара (со стороны налетающей шайбы). Она приложена к точке на расстоянии от центра стержня и перпендикулярна ему. Так как стержень невесом, то в любой момент времени сумма приложенных к нему сил и моментов сил равна нулю. Тогда для проекций сил , действующих во время удара на стержень со стороны шайб, должны выполняться равенства:
Импульсы, приобретенные шайбами за время удара, пропорциональны «парным» силам . Поэтому
Таким образом,
(введено обозначение ). Новая запись закона сохранения импульса позволяет выяснить, что
Подставляя это выражение в закон сохранения энергии, записанный с учетом энергии вращательного движения
и связь , получаем:
С учетом этого
Как видно,
(оценка численного значения угла не обязательна).
Ответ:
Возможный вариант ответа:
Есть отдельные правильные соображения.
Ответ в целом правилен, но содержит существенные неточности, или существенно неполон, или отсутствует обоснование.
Ответ правилен, но присутствуют мелкие неточности, или ответ недостаточно полон, или отсутствует достаточное обоснование.
Ответ полностью правильный, но недостаточно обоснованный.
Правильный, полный и обоснованный ответ.
Указано, что первый удар является центральным и гантель не начнет вращаться
Указано, что второй удар - нецентральный, и гантель начнет вращаться
Получена правильная связь скорости ЦМ гантели после удара с ее угловой скоростью
В уравнении ЗСЭ правильно учтена энергия вращения гантели (или кинетическая энергия гантели считается как сумма кинетических энергий ее шайб с разными скоростями)
Правильно найдено соотношение масс ()
Правильно записаны два независимых уравнения ЗСИ для второго удара
Получена правильная связь какой-либо из конечных скоростей с начальной
Получен правильный аналитический ответ
Получен правильный численный ответ (в градусах, радианах или как значение любой обратной тригонометрической функции)