Покори Воробьевы горы 2023, 10 класс, задача 1
Вопрос: Гантель из двух маленьких шайб, соединенных прямым жестким стержнем длины
скользит по ровной поверхности. В некоторый момент времени шайбы движутся
перпендикулярно стержню в одну сторону со скоростями и . С какой угловой скоростью
вращается стержень гантели в этот момент времени? Ответ объяснить.
Задача: Гантель из двух одинаковых массивных маленьких шайб, соединенных легким прямым гладким жестким стержнем, покоилась на гладкой горизонтальной поверхности. Еще одна маленькая однородная цилиндрическая шайба скользила по этой поверхности со скоростью и нанесла упругий удар по стержню гантели в его середине - точке . Угол падения (между и нормалью к стержню в точке удара) был равен , а угол отражения (см. рисунок) . После этого гантель вернули на место, и ту же шайбу запустили еще раз - с той же скоростью , но так, что теперь удар пришелся в точку , находящуюся на расстоянии от центра стержня. Найдите величину угла отражения шайбы при этом ударе.
Ответ
Ответ на вопрос: Ясно, что если скорость мгновенного центра вращения гантели равна , то она направлена в ту же сторону, что и скорости шайб, причем
Значит,
Решение задачи: Первый удар является центральным, и гантель не начнет вращаться. Действительно, из ответа на вопрос следует, что скорости шайб сразу после удара будут одинаковы, что также соответствует поступательному движению. Пусть - величина скорости налетавшей шайбы после удара, а - скорости каждой из шайб (и, соответственно скорость центра масс гантели). Закон сохранения импульса в проекции на оси (перпендикулярно стержню) и (вдоль стержня) имеют вид ( - масса налетавшей шайбы, и - масса каждой из шайб модели):
Здесь использовано знание углов падения и отражения:
С учетом закона сохранения энергии
находим, что .
Второй удар - нецентральный, и угловая скорость вращения гантели после удара отлична от нуля. Обозначим ее . Если теперь - скорость центра масс гантели после удара, то скорости шайб сразу после удара
Пусть теперь - сила, действующая на стержень во время удара (со стороны налетающей шайбы). Она приложена к точке на расстоянии от центра стержня и перпендикулярна ему. Так как стержень невесом, то в любой момент времени сумма приложенных к нему сил и моментов сил равна нулю. Тогда для проекций сил , действующих во время удара на стержень со стороны шайб, должны выполняться равенства:
Импульсы, приобретенные шайбами за время удара, пропорциональны «парным» силам . Поэтому
Таким образом,
(введено обозначение ). Новая запись закона сохранения импульса позволяет выяснить, что
Подставляя это выражение в закон сохранения энергии, записанный с учетом энергии вращательного движения
и связь , получаем:
С учетом этого
Как видно,
(оценка численного значения угла не обязательна).
Ответ:
Возможный вариант ответа: