Покори Воробьевы горы 2026, 10 класс, задача 1
Вопрос: Упругая шайба, скользящая по гладкой поверхности, сталкивается с точно такой же покоящейся шайбой. Удар не является лобовым. Чему равен угол между направлениями движения («угол разлета») шайб после удара? Ответ объяснить.
Задача: Однородная цилиндрическая шайба массы с радиусом см, скользящая по гладкой поверхности со скоростью м/с, сталкивается с точно такой же покоящейся шайбой. Боковые поверхности шайб гладкие, но их радиальные деформации не являются упругими. Потери механической энергии зависят от проекции относительной скорости шайб перед ударом на линию, соединяющую их центры:
Здесь м/с, а график функции показан на рисунке. Исследуйте зависимость угла разлета шайб после удара от величины «прицельного параметра» . При каких значениях угол максимален? Чему равен угол разлета при , и при ?
Ответ на вопрос: Конечные скорости шайб удовлетворяют закону сохранения импульса. После сокращения на массу и возведения его в квадрат получаем уравнение на искомый угол :
Эти же скорости удовлетворяют закону сохранения энергии:
Из этих двух уравнений находим, что , то есть угол разлета равен .
Решение задачи: Для изучения соударения введем систему координат, показанную на рисунке: ось отправим по «линии удара», то есть вдоль линии, соединяющей центры колец в момент удара. Поскольку боковые поверхности шайб гладкие, то именно вдоль этой линии будут направлены силы взаимодействия шайб в момент удара. Значит, проекции скоростей шайб на перпендикулярную к этой оси ось не изменяются при ударе: скорость шайбы, покоившейся до удара направлена по оси : , а проекция скорости отскочившей шайбы . Из геометрии удара мы также понимаем, что угол между направлением начальной скорости налетающей шайбы и линией удара .
Проекции скоростей шайб на ось определяются из законов сохранения энергии и импульса:
Здесь . Угол разлета определяется именно прицельным параметром (через величину )
Можно выделить три области: при (то есть при ) аргумент не превосходит 1, и , так что . Это и есть максимальное возможное значение угла разлета. При () аргумент не ниже , и . К этому диапазону относятся случаи (тогда, очевидно, и ), и случай , когда . Наконец, при работает общая формула, в которой . К этому случаю относится случай , при котором .
ОТВЕТЫ: При , при , при получим .
Есть неверный ответ с частично правильной терминологией.
Есть разумные соображения.
В основном все правильно, но есть заметные неточности или ответ неполон.
Правильный ответ с мелкими недочетами или недостаточно обоснованный.
Полный, правильный и обоснованный ответ.
Правильно определен угол между вектором скорости налетающей шайбы и линией удара ( балл)
Указано (используется в решении), что проекции скоростей шайб на ось не изменяются при ударе ( балл)
Правильно записаны уравнения законов сохранения проекции импульса на ось и закон сохранения энергии ( баллов)
Получено правильное общее выражение для угла разлета ( балла)
Правильно определены обе границы диапазонов, для которых выражения для угла разлета имеют определенный вид ( балла)
Получены правильные ответы для всех трех заданных значений прицельного параметра ( баллов)