Покори Воробьевы горы 2024, 11 класс, задача 1
Вопрос: Материальная точка массы может двигаться в плоскости в поле сил с потенциальной энергией
Каковы возможные частоты ее линейных (происходящих вдоль одной прямой) гармонических колебаний около положения равновесия?
Задача: На гладкой горизонтальной поверхности неподвижно закреплено кольцо, к трем точкам которого прикреплены концы трех упругих резинок, вторые концы которых прикреплены к одной небольшой шайбе с массой . Длина всех трех резинок в ненапряженном состоянии одинакова и в точности равна радиусу кольца. В положении равновесия шайбы две резинки - с одинаковыми коэффициентами жесткости взаимно перпендикулярны (см. рисунок), а третья - с - ориентирована вдоль биссектрисы угла между ними. Шайбу отвели на расстояние от этого положения и отпустили без начальной скорости. Оказалось, что шайба поехала по прямой и вернулась в положение равновесия за время . Найти все возможные значения и скорости шайбы в этот момент времени. Отметим, что намного меньше радиуса кольца.
Ответ на вопрос: При отклонении точки от положения равновесия строго вдоль оси изменение ее энергии отвечает «обычному» пружинному маятнику с частотой колебаний . Аналогично для колебаний строго вдоль оси частота возникающих колебаний будет равна . При отклонении по другим направлениям будут возникать колебания по обеим осям, то есть закон движения будет комбинацией функций с обеими этими частотами.
Решение задачи: Анализ работ участников показал, что они придерживались двух принципиально разных трактовок условия данной задачи: резинки - упругие тела, подчиняющиеся закону Гука и при растяжении, и при сжатии; резинки подчиняются закону Гука только при растяжении, а при сжатии они провисают, и не влияют на движении шайбы.
Введем систему координат так, как показано на рисунке.
В первом варианте в линейном приближении деформации пружин равны
Следовательно,
Возможные значения времени:
Связь скорости и амплитуды смещения имеет вид , поэтому
При «менее удачном» выборе координатных осей
а замена
приводит эту функцию к прежнему выражению.
Вариант : Начнем с тех же деформаций
Резинки «работают» при условиях при ; при ; при . В секторе , в котором вторая резинка провисает,
В этих случаях и . При отклонении по оси время , а скорость .
В секторе первая резинка провисает, и
Перейдем к новым переменным
При в секторе лежит ось . При отклонении вдоль этой оси
То есть жесткость соответствующего маятника , и
Есть неверный ответ с частично правильной терминологией.
Есть разумные соображения.
В основном все правильно, но есть заметные неточности или ответ неполон.
Правильный ответ с мелкими недочетами или недостаточно обоснованный.
Полный, правильный и обоснованный ответ.
Для сил строится линейное по координатам выражение ИЛИ Для потенциальной энергии строится квадратичное по координатам выражение
Выбраны «удобные» координаты ИЛИ При выборе «неудобных» координат строятся линейные преобразования перехода к «удобным»
Обосновано, что при записи энергии в «диагонализованном» виде или при получении двух независимых уравнений движения координатные оси отвечают направлениям, вдоль которых возможны прямолинейные движения (допускается ссылка на обоснование при ответе на вопрос)
Записана (используется в решении) правильная связь амплитуд скорости и смещения при гармонических колебаниях
Потенциальная энергия правильно записана в «диагонализованном» виде ИЛИ Уравнения движения правильно записаны по отдельности для нормальных мод
Получены (используются в решении) правильные нормальные частоты
Указано (используется в решении), что искомое время движения соответствует четверти периода гармонических колебаний
Получены правильные численные ответы для времени
Получены правильные численные ответы для скорости
Для сил строится линейное по координатам выражение ИЛИ Для потенциальной энергии строится квадратичное по координатам выражение
Проведен анализ «зон провисания» для всех трех резинок
Обосновано, что при записи энергии в «диагонализованном» виде или при получении двух независимых уравнений движения координатные оси отвечают направлениям, вдоль которых возможны прямолинейные движения (допускается ссылка на обоснование при ответе на вопрос)
Записана (используется в решении) правильная связь амплитуд скорости и смещения при гармонических колебаниях
Найдены «нужные» направления и эффективные жесткости для зон (1), (3) и (2)
Найдена эффективная жесткость для зон (1+3) и (2+3)/(1+2)
Указано (используется в решении), что искомое время движения соответствует четверти периода гармонических колебаний
Получены правильные численные ответы для времени ( и + )
Получены правильные численные ответы для скорости ( и + )