Покори Воробьевы горы 2024, 11 класс, задача 1
Вопрос: Материальная точка массы может двигаться в плоскости в поле сил с потенциальной энергией
Каковы возможные частоты ее линейных (происходящих вдоль одной прямой) гармонических колебаний около положения равновесия?
Задача: На гладкой горизонтальной поверхности неподвижно закреплено кольцо, к трем точкам которого прикреплены концы трех упругих резинок, вторые концы которых прикреплены к одной небольшой шайбе с массой . Длина всех трех резинок в ненапряженном состоянии одинакова и в точности равна радиусу кольца. В положении равновесия шайбы две резинки - с одинаковыми коэффициентами жесткости взаимно перпендикулярны (см. рисунок), а третья - с - ориентирована вдоль биссектрисы угла между ними. Шайбу отвели на расстояние от этого положения и отпустили без начальной скорости. Оказалось, что шайба поехала по прямой и вернулась в положение равновесия за время . Найти все возможные значения и скорости шайбы в этот момент времени. Отметим, что намного меньше радиуса кольца.
Ответ
Ответ на вопрос: При отклонении точки от положения равновесия строго вдоль оси изменение ее энергии отвечает «обычному» пружинному маятнику с частотой колебаний . Аналогично для колебаний строго вдоль оси частота возникающих колебаний будет равна . При отклонении по другим направлениям будут возникать колебания по обеим осям, то есть закон движения будет комбинацией функций с обеими этими частотами.
Решение задачи: Анализ работ участников показал, что они придерживались двух принципиально разных трактовок условия данной задачи: резинки - упругие тела, подчиняющиеся закону Гука и при растяжении, и при сжатии; резинки подчиняются закону Гука только при растяжении, а при сжатии они провисают, и не влияют на движении шайбы.
Введем систему координат так, как показано на рисунке.
В первом варианте в линейном приближении деформации пружин равны
Следовательно,
Возможные значения времени:
Связь скорости и амплитуды смещения имеет вид , поэтому
При «менее удачном» выборе координатных осей
а замена
приводит эту функцию к прежнему выражению.
Вариант : Начнем с тех же деформаций
Резинки «работают» при условиях при ; при ; при . В секторе , в котором вторая резинка провисает,
В этих случаях и . При отклонении по оси время , а скорость .
В секторе первая резинка провисает, и
Перейдем к новым переменным
При в секторе лежит ось . При отклонении вдоль этой оси
То есть жесткость соответствующего маятника , и