Покори Воробьевы горы 2022, 9 класс, задача 4
Вопрос: Опишите различия между силами трения покоя и трения скольжения.
Задача: Одна из двух одинаковых небольших тяжелых шайб прикреплена легкой нерастяжимой нитью к оси подвижного блока, другая - к концу еще одной легкой нерастяжимой нити, которая перекинута через два подвижных блока (см. рисунок) и прикреплена к неподвижной стенке. Обе шайбы находятся на горизонтальной поверхности таким образом, что участки нитей, не лежащие на блоках, в натянутом состоянии параллельны. Блоки практически невесомы и нить скользит по ним без трения. Сначала система покоилась, и центры шайб находились на одной прямой, перпендикулярной нитям. Затем, удерживая «левую» шайбу, «правый» блок потянули так, что далее он двигался с постоянной скоростью м/с, и практически сразу после этого «левую» шайбу отпустили. Блок движется параллельно нитям, коэффициент трения каждой из шайб о поверхность . Через какое время после начала движения центры шайб вновь окажутся на одной прямой, перпендикулярной нитям? Считать, что блоки и шайбы не касаются друг друга. Ускорение свободного падения м/с.
Ответ на вопрос: Все силы сухого трения есть результат межмолекулярных взаимодействий, но обычно разделяют силы трения покоя и силы трения скольжения. Сила трения покоя препятствует проскальзыванию поверхностей и всегда направлена против силы, пытающейся вызвать скольжение (то есть параллельной поверхности соприкосновения составляющей внешней силы, действующей на тело). Она равна этой силе по величине и ее момент уравновешивает (вместе с моментом силы нормальной реакции) момент внешней силы (чтобы обеспечить выполнение условий равновесия). При этом сила трения покоя не может быть произвольной - она принимает значения в интервале от нуля до некоторого максимального значения, зависящего от свойств поверхностей и силы прижатия их друг к другу (от величины действующей между ними силы нормальной реакции). Если внешняя сдвигающая сила превосходит это максимальное значение, покой нарушается и начинается скольжение. Сила трения скольжения - сила, направленная против скорости относительного движения поверхностей (она препятствует скольжению, которое уже существует). Величина силы трения скольжения в некотором интервале скоростей относительного движения слабо зависит от этой скорости и вычисляется по формуле , где - сила нормальной реакции, а величина - коэффициент трения, который зависит от свойств поверхностей. Обычно считается, что максимальная величина силы трения покоя примерно совпадает с величиной силы трения скольжения, но на самом деле для большинства поверхностей она несколько больше (этот эффект носит название «эффект застоя»), поэтому в области малых скоростей в зависимости величины силы трения скольжения от скорости бывает участок, на котором сила трения скольжения падает с ростом скорости. При больших относительных скоростях поверхности могут начать разрушаться и даже плавиться (как лед под скользящим лезвием конька), и тогда сила трения может существенно измениться - как в сторону уменьшения, так и в сторону увеличения. Примерный график зависимости силы трения скольжения от относительной скорости поверхностей показан на рисунке.
Решение задачи: Заметим, что скорости «левой» и «правой» шайб ( и ) связаны со скоростью движения «правого» блока условием нерастяжимости нити. Изменение суммы длин участков нити, не лежащих на блоках, за малое время должно быть равно нулю:
поэтому в любой момент времени движения. Во время «разгона» системы «левую» шайбу удерживали. Значит, начальная скорость «левой» шайбы , а «правой» - . Пусть массы шайб равны . Уравнения движения шайб в проекции на направление движения «правого» блока во время скольжения имеют вид:
и, с учетом уравнения связи для ускорений , решение этой системы уравнений относительно ускорений имеет вид
Следовательно, скорости шайб изменяются по законам
При этом сила натяжения нити . Как видно, сначала вперед выходит «правая» шайба, но к моменту времени она останавливается. Так как сила натяжения нити меньше , то эта шайба останется на месте (сила натяжения при этом еще уменьшится до ), а первая шайба продолжит движение с постоянной скоростью . До остановки «правая» шайба пройдет путь
а «левая» - путь
Значит, «левая» шайба отстала на , и для возвращения на одну линию с «правой» ей понадобится время
Полное время движения до момента, когда шайбы вновь оказываются на одной прямой
Ответ: с.
Есть отдельные правильные соображения - балл.
Ответ в целом правилен, но содержит существенные неточности, или существенно неполон, или отсутствует обоснование (для вопросов, в которых необходимо обоснование) - балла.
Ответ правилен, но присутствуют мелкие неточности, или ответ недостаточно полон, или отсутствует достаточное обоснование (для вопросов, в которых необходимо обоснование) - балла.
Ответ полностью правильный, но недостаточно обоснованный (для вопросов, в которых необходимо обоснование) - балла.
Правильный, полный и обоснованный ответ - баллов (максимальная оценка).
Есть отдельные правильные соображения - - балла.
Есть часть необходимых для решения соображений, решение не закончено или содержит серьезные ошибки - - балла.
Присутствует большая часть необходимых для решения соображений, правильно записана часть необходимых соотношений, решение не закончено или содержит ошибки - - баллов.
Присутствуют все необходимые для решения соображения, правильно записаны почти все необходимые для решения исходные уравнения, но решение не закончено или содержит ошибки - - баллов.
Присутствуют все необходимые для решения соображения, правильно записаны все необходимые для решения исходные уравнения, решение выстроено правильно с физической и логической точки зрения, но содержит ошибки - - баллов.
Присутствуют все необходимые для решения соображения, правильно записаны все необходимые для решения исходные уравнения, решение выстроено правильно с физической и логической точки зрения, но содержит одну-две мелкие неточности, не позволившие получить правильный ответ, или правильное решение с недостаточным обоснованием существенных использованных результатов - - баллов.
Правильное обоснованное решение с верным аналитическим ответом, но мелкой неточностью при получении численного ответа, либо правильное решение с правильными ответами с недостаточным обоснованием одного из использованных результатов (из числа не ключевых для решения, но необходимых) - - баллов.
Полное, правильное, обоснованное решение с правильными ответами - баллов (максимальная оценка).