Покори Воробьевы горы 2023, 11 класс, задача 3
Вопрос: Легкий гибкий провод находится на гладкой горизонтальной поверхности и закреплен своими концами в фиксированных точках. Закрепление шарнирное - оно позволяет проводу уходить в любом горизонтальном направлении. В пространстве создано однородное постоянное вертикальное магнитное поле, а по проводу течет ток. Внешнее поле намного больше, чем поле, создаваемое этим током. Какую форму примет провод? Ответ обосновать.
Задача: Два одинаковых отрезка тонкого легкого гибкого провода прикрепили концами к потолку. На других концах подвесили (за края) тонкий металлический стержень длины м с массой г. Расстояние между точками подвеса проводов к потолку точно равно длине стержня. Когда в пространстве, в котором находилась система, создали однородное постоянное горизонтальное магнитное поле с индукцией Тл, и на верхние концы проводов подали постоянное напряжение, провода приняли вид, показанный на рисунке. При этом расстояние между потолком и стержнем стало равно м, а наибольшее расстояние между проводами (см. рисунок) м. Найдите величину силы тока, текущего по проводам. Магнитное поле, созданное токами в проводах, намного слабее внешнего. Ускорение свободного падения м/с.
Ответ на вопрос: Рассмотрим равновесие бесконечно малого участка провода, имеющего радиус кривизны и угловой размер . Запишем условия равновесия в проекциях на оси (проходит по касательной к проводу в середине участка) и (проходит через центр кривизны участка). Учтем, что сила Ампера
Для этого элемента условия равновесия имеют вид
Из первого уравнения следует, что натяжение провода постоянно: , из второго (с учетом малости ) - что радиус кривизны постоянен на участках провода, на которые не действуют другие силы (кроме сил Ампера и натяжения):
Значит, эти участки - дуги окружностей. Итак: провод - дуга окружности, соединяющая точки закрепления.
Решение задачи: В соответствии с ответом на вопрос ясно, что, если пренебречь действующей на провода силой тяжести, то оба отрезка провода - это дуги окружности. С учетом равенства длины стержня и расстояния между точками подвеса понятно, а также симметрии нагрузки (одинаковость сил натяжения означает одинаковость радиусов кривизны), что эти дуги симметричны относительно горизонтальной линии, проходящей через точки максимального удаления проводов. Значит, если обозначить угол отклонения проводов от вертикали в точках прикрепления к стержню , то угловой размер каждого провода (как дуги окружности) равен . Следовательно:
Следовательно,
откуда
Также
Условие равновесия стержня
С учетом того, что , оно позволяет найти ответ на вопрос задачи:
и окончательно
Ответ: А.
Есть отдельные правильные соображения.
Ответ в целом правилен, но содержит существенные неточности, или существенно неполон, или отсутствует обоснование.
Ответ правилен, но присутствуют мелкие неточности, или ответ недостаточно полон, или отсутствует достаточное обоснование.
Ответ полностью правильный, но недостаточно обоснованный.
Правильный, полный и обоснованный ответ.
Указано (используется в решении), что оба отрезка провода - это дуги окружности
В решении используется правильная формула для связи радиуса кривизны проводов с силой натяжения
Обосновано, что провода симметричны относительно горизонтальной линии, проходящей через точки их максимального удаления
В решении используется условие равновесия стержня, в записи которого присутствуют все силы (две силы натяжения нити, сила тяжести и сила Ампера) с правильно описанными величинами и направлениями
Правильно найден (аналитически либо численно) радиус кривизны проводов
Правильно найден (через любую тригонометрическую функцию) угол наклона проводов в точке прикрепления к стержню
Получено правильное уравнение, из которого можно найти силу тока
Получен правильный аналитический ответ
Получен правильный численный ответ
Если утверждение о симметрии используется в решении без обоснования, за этот пункт ставится 1 балл