Покори Воробьевы горы 2025, 10 класс, задача 3
Вопрос: На металлическую сферу радиусом нанесен заряд , а на сферу радиусом - заряд . Пространство между сферами заполнено диэлектриком с диэлектрической проницаемостью . Чему равен потенциал (относительно бесконечности) точки, находящейся на расстоянии от общего центра сфер?
Задача: Металлический шар радиусом зарядили с помощью источника с ЭДС (включив источник между «землей» и шаром). Затем его окружили слоем диэлектрика с проницаемостью , внутренний радиус которого был равен , а внешний - . Какую минимальную работу нужно совершить, чтобы удалить диэлектрик из области между и на большое расстояние от шара? Считайте, что работа по разделению этого слоя на мелкие «кусочки» пренебрежимо мала по сравнению с работой по перемещению этих кусочков на большое расстояние.
Ответ на вопрос: Вне большей сферы напряженность поля равна нулю (это сферически- симметричное поле нулевого заряда). Поэтому ее потенциал равен потенциалу бесконечности, то есть нулю в предложенной калибровке. Поле между сферами создается зарядом внутренней сферы, и оно совпадает с полем точечного заряда в однородном диэлектрике. Значит, его потенциал может отличаться от потенциала точечного заряда в однородном диэлектрике только на постоянную величину: при . С учетом того, что , находим . В итоге получаем, что .
Решение задачи: На базе рассуждений, использованных в ответе на вопрос, мы можем получить и формулу емкости произвольного сферического конденсатора с радиусами обкладок и , пространство между которыми заполнено диэлектриком. В самом деле, потенциал внешней обкладки относительно бесконечности равен нулю, и напряжение на конденсаторе равно потенциалу внутренней обкладки
Тогда емкость такого конденсатора , и его энергия
Теперь получим выражение для энергии поля системы из заряженного металлического шара с зарядом и слоя диэлектрика. Для этого мысленно вставим на радиусах и пары бесконечно тонких и близких сфер с противоположными зарядами и . Поскольку мы вставили всюду нулевые заряды, поле не поменялось. Но теперь эту систему можно считать системой трех сферических конденсаторов - образованных шаром и внутренним «вставленным» слоем, вторым и третьим «вставленными» слоями, а также четвертым слоем и бесконечностью. Таким образом,
Теперь ясно, что минимальная возможная работа по удалению диэлектрика в рамках установленных в условиях приближений равна разности энергий конечной и начальной конфигураций. Поскольку
и
то
Остается заметить, что заряд шара, заряженного от источника с заданной ЭДС, . Поэтому .
Если принять, что , то можно получить численный ответ .
Ответ: , или , или другое правильное аналитическое выражение.
Есть неверный ответ с частично правильной терминологией.
Есть разумные соображения.
В основном все правильно, но есть заметные неточности или ответ неполон.
Правильный ответ с мелкими недочетами или недостаточно обоснованный.
Полный, правильный и обоснованный ответ.
в решении используется правильный способ расчета энергии сферической системы зарядов и слоев диэлектрика (как системы сферических конденсаторов или через энергии самодействия и взаимодействия тел, или через интегрирование плотности энергии)
минимальная работа вычисляется как разность энергий конечной и начальной конфигурации
записана (используется в решении) правильная связь заряда шара и ЭДС источника
получено правильное выражение (через величины радиусов или один радиус и их соотношения, заряд шара или ЭДС источника) для энергии начальной конфигурации
получено правильное выражение (через величины радиусов или один радиус и их соотношения, заряд шара или ЭДС источника) для энергии конечной конфигурации
записан правильный аналитический ответ через те же величины или правильный численный ответ