Покори Воробьевы горы 2025, 11 класс, задача 3
Вопрос: К двум точкам металлического кольца радиуса , находящегося в перпендикулярном его плоскости однородном магнитном поле с постоянной скоростью изменения модуля индукции , подключили идеальный вольтметр. Каковы его показания?
Задача: Квадратная «заслонка» размером с толщиной изготовлена из материала с удельным сопротивлением и плотностью . Она может скользить без трения по вертикальным направляющим (см. рисунок). Для регулировки величины ускорения заслонки в области ее движения создали горизонтальное магнитное поле с индукцией , перпендикулярное поверхности заслонки, а направляющие сверху соединили, используя ключ и конденсатор. Изначально заслонку удерживают, ключ разомкнут. Заслонку отпускают одновременно с замыканием ключа. Параметры и начальное состояние системы подобраны таким образом, чтобы ток зарядки конденсатора после этого был постоянен и равным , где - ускорение свободного падения. Определите емкость конденсатора и найдите закон движения заслонки. Сопротивление направляющих и используемых проводов, а также сопротивление контактов ключа намного меньше сопротивления заслонки, ЭДС самоиндукции пренебречь.
Ответ на вопрос: С учетом симметрии системы понятно, что в квазистационарном приближении кольцо можно рассматривать как контур, в котором ЭДС в каждой их двух его частей (по разные стороны от вольтметра) пропорционально длине соответствующего участка кольца. Сила тока в этом контуре равна полной ЭДС, поделенной на полное сопротивление. Поскольку сопротивление каждого из участков тоже пропорционально их длинам, то, в соответствии с законом Ома для участка цепи с ЭДС . Итак, вольтметр покажет нулевое напряжение.
Решение задачи: При замкнутом ключе и движении заслонки будет изменяться площадь контура, содержащего конденсатор и заслонку, что приведет к изменению магнитного потока и появлению в контуре ЭДС индукции
Здесь ось направлена вниз, а - скорость падения заслонки. Будем далее считать «положительным» заряд конденсатора, создаваемый индукционным током. Тогда ток зарядки конденсатора
(ясно, что в отсутствие ЭДС индукции заряженный конденсатор будет разряжаться). Как видно из условия, сопротивление контура можно считать равным сопротивлению заслонки . Поэтому
Исходя из правила Ленца ясно, что сила Ампера, действующая на индукционные токи, текущие через заслонку, должна тормозить ее движение. Кроме того, малость сопротивления направляющих позволяет считать, что ток распределен в заслонке равномерно по высоте, и
Уравнение движения заслонки с учетом того, что ее масса , приводится к виду
Согласно условию, от самого начала движения заслонка (которая до этого покоилась) движется с постоянным ускорением, и из этого уравнения находим, что
то есть . Соответствующий закон движения заслонки . Кроме того, по значению силы тока находим, что . При подстановке законов изменения скорости заслонки и заряда конденсатора в уравнение для силы тока в цепи должно получаться тождество, то есть для любого момента времени
Как видно, необходимым условием существования указанного в условии режима движения заслонки являются наличие у конденсатора начального заряда
который должен быть противоположен по знаку тому, что создает индукционный ток. Отметим, что нахождение этого заряда не было необходимым для получения ответа, однако его нахождение фактически является проверкой корректности условия. Кроме того, мы находим связь емкости конденсатора с другими параметрами системы .
Ответ: , , условие корректно, если в начальном состоянии заряд конденсатора противоположен по знаку тому, что создает индукционный ток и равен .
Есть неверный ответ с частично правильной терминологией.
Есть разумные соображения.
В основном все правильно, но есть заметные неточности или ответ неполон.
Правильный ответ с мелкими недочетами или недостаточно обоснованный.
Полный, правильный и обоснованный ответ.
правильно понята роль ЭДС индукции (используется правильный знак в 1 уравнении для силы тока)
понята возможность (и даже необходимость) необходимость наличия у конденсатора начального заряда
в уравнении движения использован правильный знак у силы Ампера
явно используется (подставляется в уравнения) заданная в условии величина силы тока
в полученном тождестве независимо приравниваются коэффициенты при нулевой и первой степени t
правильно записано выражение для ЭДС индукции
получено правильное уравнение для силы тока в цепи
записано правильное выражение для силы Ампера через ток в цепи
правильно записан закон изменения заряда конденсатора
получена правильная формула для емкости конденсатора
получен правильный закон движения заслонки