Покори Воробьевы горы 2024, 10 класс, задача 3
Вопрос: В каком случае взаимодействие электрических зарядов можно считать потенциальным?
Задача: Маленькая бусинка с массой и зарядом может скользить по гладкому непроводящему стержню, установленному вертикально на горизонтальной непроводящей поверхности. Изначально бусинка покоится в самом нижнем положении (см. рисунок). Непроводящее кольцо радиуса , по которому равномерно распределен отрицательный заряд, размещают на большой высоте над поверхностью так, что его плоскость горизонтальна, а ось совпадает с осью стержня. Затем кольцо очень медленно опускают на поверхность, перемещая его поступательно вдоль вертикальной оси.
-
При какой величине заряда кольца бусинка не придет в движение вплоть до касания кольца и поверхности? Ускорение свободного падения равно , электрическая постоянная .
-
Величину заряда кольца выбрали так, что бусинка пришла в движение, когда кольцо оказалось на высоте над поверхностью. Найдите максимальную возможную высоту, на которую может подняться бусинка в ходе ее дальнейшего движения.
Ответ
Ответ на вопрос: Взаимодействие зарядов, описываемое законом Кулона без учета эффекта запаздывания (когда мы пренебрегаем конечностью скорости распространения электромагнитных возмущений) является потенциальным, так как в этом случае работу сил взаимодействия можно вычислять через изменение потенциальной энергии. Такой подход не будет корректным, если мы выйдем за рамки приближения электростатики, то есть учтем наличие в природе единого электромагнитного взаимодействия: взаимосвязь электрических и магнитных полей, излучение ускоренными зарядами электромагнитных волн и конечность скорости их распространения. Таким образом, использование потенциальности сил взаимодействия между зарядами возможно, если мы считаем, что все заряды, создающие электромагнитные поля, покоятся в течении достаточно длительного время (все возмущения поля успели «убежать» за пределы изучаемой системы), а электромагнитными полями движущихся зарядов можно пренебречь.
Решение задачи: Поскольку кольцо опускают «очень медленно», можно считать, что на бусинку действует электрическая сила со стороны заряда практически покоящегося кольца (то есть мы можем воспользоваться квазистационарным приближением).
- Пусть кольцо находится на высоте над поверхностью. Сила притяжения, действующая со стороны зарядов кольца на бусинку, лежащую на поверхности, вычисляется из принципа суперпозиции, причем бусинка отрывается от поверхности, когда эта сила сравнивается с силой тяжести:
Удобно ввести переменную так, что . Тогда это уравнение приводится к виду
Правая часть этого уравнения имеет максимум при , и он равен . Поэтому при
это условие не будет выполнено ни при каком , и бусинка не придет в движение вплоть до касания кольца и поверхности.
- Отрыв происходит при , если
Поле зарядов кольца (которое теперь не успеет сместиться за время полета бусинки, и мы его считаем постоянно находящимся на высоте ) считаем потенциальным, и потенциальная энергия бусинки как функция ее координаты , отсчитываемой вверх от плоскости кольца (с учетом поля тяжести)
В точке максимального подъема (при ) эта энергия равна своему значению в точке «старта» - при , то есть
После возведения в квадрат для переменной получаем квадратное уравнение , положительный корень которого . Таким образом, максимальная высота подъема бусинки