Покори Воробьевы горы 2023, 9 класс, задача 4
Вопрос: Когда к источнику постоянного напряжения подключили вольтметр, то он показал напряжение В. При подключении к этому источнику двух таких вольтметров, соединенных параллельно, каждый из них показал напряжение В. Найдите отношение внутренних сопротивлений вольтметра и источника и оцените возможную ошибку результата.
Задача: Ученик класса собрал цепь, схема которой показана на рисунке, из аккумулятора, двух резисторов и пяти одинаковых вольтметров. Известно, что вольтметры «практически идеальные», ЭДС источника В, а его внутреннее сопротивление Ом. Сопротивления резисторов Ом и Ом. Определите показания всех вольтметров (они показывают напряжения без учета полярности).
Ответ
Ответ на вопрос: Введем обозначения: пусть - напряжение, создаваемое источником на своих клеммах при разомкнутой цепи (его ЭДС), - его внутреннее сопротивление, а - сопротивление вольтметра. Тогда при подключении одного вольтметра к клеммам источника сила тока через него равна
и напряжение на вольтметре
где . При подключении двух вольтметров
то есть
(здесь оставлены значащих цифр - как было в данных). Для оценки точности можно применить, например, «интервальный» метод: взять максимальные и минимальные в пределах ошибки значения и , получим максимальное и минимальное значение : и . Как видно, отклонения от «среднего» значения примерно равны , то есть реально ошибка появляется уже в третьей значащей цифре:
Такое снижение точности результата по сравнению с точностью данных появилось из-за того, что в вычислениях мы делили на малое число - разность близких величин. В общем случае «интервальный» метод - весьма приблизительный метод оценки погрешностей, но в данном примере он дает разумный результат. Ответ - тоже вполне приемлемый.
Решение задачи: Ясно, что сопротивление вольтметров значительно превышает сопротивления резисторов и источника, поэтому при расчете сил токов через резисторы токами, текущими через вольтметры, можно пренебречь. Тогда через оба резистора течет ток с силой
При этом напряжение между точками и равно
а напряжение между точками и
Отметим, что вольтметры одинаковы, а через вольтметры - течет общий, так что их показания одинаковы. Справедливы следующие условия баланса напряжений:
и
Еще одно уравнение можно получить, вспомнив, что токи (хоть и чрезвычайно малые) через вольтметры все-таки текут, и для них справедливо условие непрерывности в узле :
(обратите внимание на «согласование» выбора положительного направления тока и «положительной» полярности для вольтметра ). Умножив это равенство на сопротивление одного вольтметра, получим
Решаем полученную систему и находим:
и
Отметим, что , то есть мы «угадали» полярность, хотя этого и не требовалось.
Ответ:
и