Покори Воробьевы горы 2023, 9 класс, задача 4
Вопрос: Когда к источнику постоянного напряжения подключили вольтметр, то он показал напряжение В. При подключении к этому источнику двух таких вольтметров, соединенных параллельно, каждый из них показал напряжение В. Найдите отношение внутренних сопротивлений вольтметра и источника и оцените возможную ошибку результата.
Задача: Ученик класса собрал цепь, схема которой показана на рисунке, из аккумулятора, двух резисторов и пяти одинаковых вольтметров. Известно, что вольтметры «практически идеальные», ЭДС источника В, а его внутреннее сопротивление Ом. Сопротивления резисторов Ом и Ом. Определите показания всех вольтметров (они показывают напряжения без учета полярности).
Ответ на вопрос: Введем обозначения: пусть - напряжение, создаваемое источником на своих клеммах при разомкнутой цепи (его ЭДС), - его внутреннее сопротивление, а - сопротивление вольтметра. Тогда при подключении одного вольтметра к клеммам источника сила тока через него равна
и напряжение на вольтметре
где . При подключении двух вольтметров
то есть
(здесь оставлены значащих цифр - как было в данных). Для оценки точности можно применить, например, «интервальный» метод: взять максимальные и минимальные в пределах ошибки значения и , получим максимальное и минимальное значение : и . Как видно, отклонения от «среднего» значения примерно равны , то есть реально ошибка появляется уже в третьей значащей цифре:
Такое снижение точности результата по сравнению с точностью данных появилось из-за того, что в вычислениях мы делили на малое число - разность близких величин. В общем случае «интервальный» метод - весьма приблизительный метод оценки погрешностей, но в данном примере он дает разумный результат. Ответ - тоже вполне приемлемый.
Решение задачи: Ясно, что сопротивление вольтметров значительно превышает сопротивления резисторов и источника, поэтому при расчете сил токов через резисторы токами, текущими через вольтметры, можно пренебречь. Тогда через оба резистора течет ток с силой
При этом напряжение между точками и равно
а напряжение между точками и
Отметим, что вольтметры одинаковы, а через вольтметры - течет общий, так что их показания одинаковы. Справедливы следующие условия баланса напряжений:
и
Еще одно уравнение можно получить, вспомнив, что токи (хоть и чрезвычайно малые) через вольтметры все-таки текут, и для них справедливо условие непрерывности в узле :
(обратите внимание на «согласование» выбора положительного направления тока и «положительной» полярности для вольтметра ). Умножив это равенство на сопротивление одного вольтметра, получим
Решаем полученную систему и находим:
и
Отметим, что , то есть мы «угадали» полярность, хотя этого и не требовалось.
Ответ:
и
Есть отдельные правильные соображения.
Ответ в целом правилен, но содержит существенные неточности, или существенно неполон, или отсутствует обоснование.
Ответ правилен, но присутствуют мелкие неточности, или ответ недостаточно полон, или отсутствует достаточное обоснование.
Ответ полностью правильный, но недостаточно обоснованный.
Правильный, полный и обоснованный ответ.
Указано, что при расчете сил токов через резисторы токами, текущими через
вольтметры, можно пренебречь Правильно записаны два независимых условия баланса напряжений на вольтметрах
Используется условие непрерывности тока в узле
Правильно определены значения =В и =В
Получены правильные аналитический и численный ответы для
Получены правильные аналитический и численный ответы для
Получены правильные аналитический и численный ответы для