Покори Воробьевы горы 2026, 10 класс, задача 3
Вопрос: Два проводящих шарика радиуса с одинаковыми зарядами расположены на расстоянии друг от друга. Пренебрегая вкладами порядка , найдите энергию созданного ими электрического поля.
Задача: Шайба, заряженная положительным зарядом, покоится на гладкой наклонной непроводящей неполяризующейся плоскости, составляющей угол с горизонтом. При этом под плоскостью на одной горизонтали с шайбой, на расстоянии см от нее, находится отрицательный заряд. Из-за пренебрежимо малого возмущения шайба начинает подниматься вдоль наклонной плоскости. На каком расстоянии от исходного положения шайба впервые остановится? Найдите ускорение шайбы перед ее остановкой в единицах ускорения свободного падения .
Ответ
Ответ на вопрос: Энергия поля одного проводящего шара (энергия самодействия) равна произведению потенциала его поверхности относительно бесконечности на его заряд. Так как поле снаружи шара совпадает с полем соответствующего точечного заряда, то
Энергия взаимодействия шаров в этом приближении может быть вычислена как энергия взаимодействия точечных зарядов
Следовательно, полная энергия примерно равна
Решение задачи: Из условия ясно, что в начальном положении шайбы проекция на ось (направленную от этого положения вверх вдоль плоскости) результирующей силы, действующей на шайбу, равна нулю (шайба покоилась, но после «бесконечно» малого возмущения начала движение). Значит, заряд шайбы удовлетворяет условию
Вычислим потенциальную энергию шайбы как функцию координаты . Поскольку расстояние от шайбы до заряда
а ее высота над начальным положением , то
Так как шайба стартует с нулевой начальной скоростью, то точки ее остановки определяются из уравнения , то есть
где
Положительный корень этого уравнения при заданном значении угла . Значит, шайба останавливается в точке с координатой
Ускорение шайбы в этой точке можно вычислить как
ОТВЕТЫ: Шайба остановится на расстоянии см от исходного положения, ее ускорение перед остановкой .