Покори Воробьевы горы 2024, 11 класс, задача 3
Вопрос: Проводящий стержень длины вращается с постоянной угловой скоростью в однородном магнитном поле с индукцией вокруг оси, параллельной полю, проходящей перпендикулярно стержню через его середину. Чему равна разность потенциалов на концах стержня?
Задача: В установке «рельсотрон» в качестве «снаряда» используется металлическая перемычка, которая может скользить, двигаясь поступательно, по двум очень длинным гладким горизонтальным параллельным рельсам. Сначала перемычку удерживают вблизи одной пары их концов, к которым подключают источник постоянного напряжения. В области пространства, в которой проходят рельсы, включают вертикальное постоянное однородное магнитное поле, и перемычку аккуратно освобождают. В первой серии опытов рельсы поддерживались в сверхпроводящем состоянии, а суммарное сопротивление контура, по которому протекал ток (состоящее из сопротивления перемычки, внутреннего сопротивления источника и сопротивления контактов), было примерно постоянно и равно . При этом оказалось, что перемычка разгоняется до от максимально возможной (для этой установки), пройдя путь . Во второй серии опытов сверхпроводящие рельсы заменили на рельсы с «погонным» сопротивлением . Какой путь теперь потребуется перемычке для достижения той же скорости? Считайте, что сила сопротивления воздуха отсутствует, сумма сопротивления перемычки, внутреннего сопротивления источника и сопротивления контактов не изменилась, длина начального участка рельсов (от края до линии старта перемычки) пренебрежимо мала по сравнению с .
Ответ на вопрос: В квазистационарном приближении в установившемся режиме действующая на носитель заряда сила Лоренца уравновешивается силой со стороны электрического поля: . Но распределение заряда симметрично относительно оси вращения, поэтому потенциалы концов стержня равны, и разность потенциалов на концах стержня равна нулю.
Решение задачи: При движении перемычки в контуре возникает ЭДС индукции с полярностью, противоположной ЭДС источника. Полное сопротивление контура при проводящих рельсах зависит от координаты перемычки :
Поэтому сила тока
При сила тока обращается в ноль. Уравнение движения :
где . Для сверхпроводящих рельсов :
В случае рельсов с сопротивлением:
В результате
Примечание: Интеграл также вычисляется в элементарных функциях:
Есть неверный ответ с частично правильной терминологией.
Есть разумные соображения.
В основном все правильно, но есть заметные неточности или ответ неполон.
Правильный ответ с мелкими недочетами или недостаточно обоснованный.
Полный, правильный и обоснованный ответ.
Используется правильное выражение для ЭДС индукции
Правильно определена максимальная возможная для данной установки скорость
В решении используется уравнение, связывающее достигнутую скорость с координатой перемычки
Уравнение для пути разгона для случаев сверхпроводящих рельс и рельс с ненулевым сопротивлением записаны в едином виде, позволяющем исключить «сложное» интегральное выражение
Правильно записано дифференциальное уравнение для или эквивалентное
Получено правильное выражение для s через параметры системы 0
В решении появляется и правильно вычислен интеграл от обратного сопротивления
Получен правильный аналитический ответ для s
Получен правильный численный ответ