Покори Воробьевы горы 2023, 9 класс, задача 1
Вопрос: Две шайбы, скользящие по ровной поверхности, соединены жестким стержнем. В некоторый момент времени скорость одной из них направлена вдоль стержня и равна м/с. В этот момент скорость второй шайбы направлена под углом к стержню. Чему равна ее величина?
Задача: Три муфты (, и ) с одинаковыми массами могут скользить по двум гладким горизонтальным направляющим, пересекающимся под углом . Муфты и изначально покоятся, и они шарнирно соединены с легким жестким стержнем так, что стержень составляет одинаковые углы с обеими направляющими. Между муфтой , движущейся по направляющей со скоростью м/с, и муфтой происходит упругое соударение. Определите скорость муфты сразу после удара.
Ответ
Ответ на вопрос: Поскольку стержень является «жестким», то расстояние между шайбами (длина стержня) не может измениться. Поэтому проекции скоростей шайб на ось, идущую вдоль стержня, должны быть равны. Следовательно, для скорости второй шайбы
Значит, м/с.
Решение задачи: В процессе соударения шайб и суммарный импульс шайб не сохраняется, так как на них действуют силы реакции направляющих (всегда перпендикулярные направляющим, так как те по условию гладкие) и сила упругости стержня, направленная вдоль него. Сила , действующая на шайбу со стороны шайбы во время удара, равна по величине и противоположна по направлению силе , действующей со стороны на . Поэтому изменение импульса шайбы за малое время удара в проекции на направляющую:
а для шайбы :
Легко заметить, что углы между стержнем и направляющими одинаковы и равны
то есть
Сила , действующая на шайбу со стороны стержня, равна по величине и противоположна по направлению силе , с которой стержень действует на шайбу (стержень невесомый, так что сумма приложенных к нему сил и моментов сил обязательно равна нулю). Поэтому
Кроме того, условие жесткости стержня требует
и
Из этих соотношений и уравнения изменения импульса шайбы следует, что
Наконец, запишем ЗСЭ и подставим в него полученные связи скоростей:
Отрицательное значение означает, что шайба после удара изменяет направление своего движения («отскакивает» от шайбы ).
Ответ: м/с.