Покори Воробьевы горы 2023, 9 класс, задача 3
Вопрос: Комета движется вокруг Солнца по сильно вытянутой эллиптической орбите. Ее минимальная скорость равна км/с, а отношение максимального и минимального расстояний до Солнца равно . Определите максимальную скорость кометы.
Задача: Положительно заряженный ион с малой массой движется в поле неподвижного отрицательно заряженного шарика. Траектория иона представляет собой эллипс, а шарик находится в одном из фокусов этого эллипса. В точке, ближайшей к шарику, установили небольшую ускорительную камеру, которая не изменяет направление движения иона, но при каждом прохождении увеличивает его механическую энергию на одну и ту же величину. После первого прохождения камеры соотношение максимального и минимального расстояний между ионом и шариком увеличилось до . Каким станет это соотношение после -го прохождения ионом ускорительной камеры? После какого по счету прохождения ион не вернется к камере? Потери на сопротивление среды отсутствуют, потерями на излучение пренебречь. Радиусы кривизны эллипса на концах большой () и малой () полуосей равны и соответственно.
Ответ на вопрос: Максимальное и минимальное расстояние соответствуют апогелию (афелию) и перигелию орбиты кометы, то есть симметричным точкам эллипса, расположенным на концах его большой оси. Поэтому радиусы кривизны траектории в этих точках одинаковы. Записав с учетом закона тяготения Ньютона уравнения для центростремительной компоненты ускорения в этих точках, найдем соотношение соответствующих скоростей:
Таким образом, км/с.
Решение задачи: Для начала вспомним определяющее свойство эллипса: сумма расстояний до фокусов эллипса до любой его точки постоянна и равна удвоенной длине большой полуоси. По аналогии с I законом Кеплера понимаем, что заряженный шарик находится в фокусе эллиптической орбиты иона, и поэтому ясно, что расстояние от шарика до иона при прохождении точки (находящейся на конце малой полуоси - см. рисунок) равно . Далее запишем уравнение для центростремительного ускорения иона в точке , то можно выразить его скорость в этой точке через длину большой полуоси:
(здесь и - разноименные заряды иона и шарика, и - масса иона). С другой стороны, постоянная полная энергия иона на данной орбите
Как видно, мы можем связать энергию иона с отношением : поскольку , то
На первоначальной орбите
так что
После включения ускорительной камеры энергия и орбита иона изменяются, но остается неизменным (ион вылетает из нее перпендикулярно радиусу, так что это точка остается «перигелием» его орбиты). Пусть на каждом прохождении камеры энергия иона увеличивается на . Тогда после одного прохождения
а после прохождений
Из этого уравнения находим, что
Как видно, после -го прохождения ионом ускорительной камеры , а , то есть после прохождения ускорительной камеры ион перейдет на незамкнутую (на самом деле параболическую) орбиту и не вернется к ускорительной камере.
Ответ: После пятого прохождения ионом ускорительной камеры , и после десяти прохождений ускорительной камеры ион перейдет на параболическую орбиту и не вернется к ускорительной камере.
Есть отдельные правильные соображения.
Ответ в целом правилен, но содержит существенные неточности, или существенно неполон, или отсутствует обоснование.
Ответ правилен, но присутствуют мелкие неточности, или ответ недостаточно полон, или отсутствует достаточное обоснование.
Ответ полностью правильный, но недостаточно обоснованный.
Правильный, полный и обоснованный ответ.
Указано, что заряженный шарик находится в фокусе эллиптической орбиты иона
Указано и обосновано, что после прохождения ускорительной камеры не
изменяется, а растет Верно записано уравнение для центростремительной компоненты ускорения в
«удобной» точке Полная энергия иона на орбите вычисляется по его скорости и положению «удобной»
точки
Получена правильная аналитическая связь энергии иона с отношением Правильно найден закон изменения этого отношения (получена формула,
+ эквивалентная - Получен правильный численный ответ =
Сделан правильный вывод, что ион не вернется к ускорительной камере после