Покори Воробьевы горы 2026, 9 класс, задача 4
Вопрос: При каких условиях сила натяжения легкого нерастяжимого троса, перекинутого через неподвижный блок, одинакова по разные стороны от блока?
Задача: Для подъема ведер с песком на стройке используют подъемное устройство из двух блоков, показанная на рисунке. Оба блока легкие, трением в их осях можно пренебречь, трос легкий и почти нерастяжимый. Неподвижный блок состоит из двух жестко соединенных цилиндров с общей осью, причем радиус большего на больше, чем у меньшего. Трос наматывается на вал двигателя радиусом см, проходит по большему радиусу верхнего блока, затем через подвижный блок возвращается на меньший радиус верхнего блока, где закреплен один из его концов. В установившемся режиме движения вал двигателя вращается с угловой скоростью , трос нигде не скользит. Масса ведра с песком кг. Найдите для этого режима: скорость подъема ведра и силу натяжения троса около вала двигателя. Сопротивлением воздуха пренебречь, ускорение свободного падения считайте равным м/с.
Ответ на вопрос: Сумма сил и сумма моментов сил, приложенных к легкому блоку, должны равняться нулю. Если момент сил трения равен нулю, и плечи сил двух натяжения одинаковы, то эти требования будут выполнены, только если эти силы равны. Итак: равенство сил натяжения означает, что блок легкий, «равноплечий» и вращается без трения.
Решение задачи: Поскольку трос не скользит по поверхности вала, величина скорости , с которой движутся участки троса между валом двигателя и верхним блоком, равна скорости точек поверхности вала, то есть . Ясно, что в установившемся режиме, то есть при постоянной скорости вытягивания троса, ведро также движется с постоянной скоростью. Значит, сумма сил натяжений троса с двух сторон от подвижного блока уравновешивает силу тяжести, действующую на емкость с водой. Так как подвижный блок легкий и вращается без трения, то величины сил натяжения троса по разные стороны от него равны. Значит, величина силы натяжения троса на участке между подвижным блоком и цилиндром меньшего радиуса верхнего блока равна .
За малый промежуток времени двигатель наматывает на вал участок троса длиной . Так как трос не скользит по поверхности верхнего блока, то этот блок поворачивается на угол
где - радиус меньшего цилиндра. При этом из петли троса, в которой находится подвижный блок, на цилиндр большего радиуса наматывается участок троса длиной , а с цилиндра меньшего радиуса в эту петлю сматывается участок троса длиной . Таким образом, длина петли изменяется на
Значит, ведро действительно поднимается - со скоростью
Так как в рамках заданных условий при ближайших приближений потерями в системе блоков можно пренебречь, то полезная работа двигателя равна работе по перемещению ведра, то есть
С другой стороны, эта же мощность может быть выражена через искомую величину силы натяжения троса на участке между валом двигателя и верхним блоком:
Данная система обеспечивает 12-кратный выигрыш в силе!
Примечание: величина силы натяжения троса на участке между валом двигателя и верхним блоком может быть найдена независимо от двух предыдущих ответов из условия равенства нулю суммы моментов сил, приложенных к «легкому» верхнему блоку: , откуда следует, что .
ОТВЕТЫ: Скорость подъема ведра м/с, силу натяжения троса около вала двигателя Н.
Есть неверный ответ с частично правильной терминологией.
Есть разумные соображения.
В основном все правильно, но есть заметные неточности или ответ неполон.
Правильный ответ с мелкими недочетами или недостаточно обоснованный.
Полный, правильный и обоснованный ответ.
Правильно использованы в решении: условие отсутствия проскальзывания ( балла), условие нерастяжимости троса ( балла), золотое правило механики или уравнения движения ( баллов)
Правильно найдена величина силы натяжения троса на участке между подвижным блоком и цилиндром меньшего радиуса ( балла)
Правильно определены скорость подъема ведра и сила натяжения троса около вала двигателя ( баллов)