Покори Воробьевы горы 2023, 11 класс, задача 1

Ответ на вопрос: Поскольку шайба и брусок гладкие, то в процессе удара они действуют друг на друга только силами нормальной реакции, так что линия удара (линия действия этих сил) проходит по радиусу шайбы и перпендикулярно боковой поверхности бруска. Так как шайба однородная, то ее центр масс совпадает с геометрическим центром, и поэтому линия удара обязательно проходит через него - удар для шайбы является центральным, момент внешней силы относительно центра масс равен нулю, и шайба не изменит состояния вращения - она после удара вращаться не будет. Для бруска ответ зависит от положения точки соударения на его боковой поверхности - если перпендикуляр к поверхности, проведенный из этой точки, проходит через проекцию центра масс бруска, то брусок тоже не будет вращаться после удара. В противном случае он обязательно начнет вращаться вокруг вертикальной оси. Можно также отметить, что в этих рассуждениях мы считали высоты шайбы и бруска почти одинаковыми, чтобы у сил их взаимодействия друг с другом и со льдом не возникло ненулевого момента, способного закрутить тела за время удара вокруг горизонтальной оси.

Решение задачи: Следует обратить внимание, что оба соударения являются нецентральными: линии действия сил упругости, возникающих при ударах (ясно, что они перпендикулярны поверхностям гладких брусков), не проходят через центры масс брусков. Поэтому бруски после ударов приводятся во вращение (а вот шайба нет - ее центр масс лежит на линии удара в обоих случаях). Закон сохранения энергии для первого удара записывается в виде

где - масса шайбы, и - скорости шайбы до и после удара, - скорость центра масс бруска после столкновения. Энергия вращательного движения бруска после удара зависит от набранной им угловой скорости (ясно, что ), массы () и размеров бруска. Отметим, что набор скорости центром масс бруска создается силой давления шайбы на брусок во время удара (), а набор угловой скорости обеспечивается моментом этой же силы, плечо которой . Из этих соображений понятно, что , и поэтому . Таким образом, можно прийти к заключению, что

где - некоторый безразмерный коэффициент, зависящий от формы бруска. Итак, закон сохранения энергии для первого удара имеет вид

Далее можно действовать обычным образом. Если записать закон сохранения импульса в проекциях на оси и , то из них легко можно найти величины скоростей шайбы и бруска после удара:

Подставим эти выражения в закон сохранения энергии, в котором используем выражение для энергии вращения и разделим обе части на :

Для второго удара соотношения точно такие же, только изменяются углы и значение . Поэтому

Исключая из этих соотношений , найдем:

Примечание: Существует другой способ получить ключевое соотношение - доступный для тех, кто знаком с понятиями момента инерции и момента импульса. В этом случае достаточно просто отметить, что наряду с соотношением есть также соотношение для момента импульса относительно центра масс , в котором - момент инерции бруска относительно оси, проходящей через центр масс. Поэтому

Как видно, на самом деле

Ответ: г.