Покори Воробьевы горы 2022, 10 класс, задача 4
Вопрос: Как изменится (по сравнению со значением в воздухе) оптическая сила тонкой линзы, если погрузить ее в прозрачную жидкость, показатель преломления которой больше, чем у воздуха?
Задача: Тонкая плосковыпуклая линза немного погружена в воду своей горизонтальной плоской стороной (выпуклая поверхность линзы находится в воздухе). На линзу падает сверху узкий вертикальный пучок света, ось которого проходит точно через вершину выпуклой поверхности. Этот пучок фокусируется в воде на глубине см. Оптическая сила линзы в воздухе дптр. Найти показатель преломления воды.
Ответ на вопрос: В рамках приближения тонкой линзы оптическая сила линзы, помещенной в однородную среду, определяется формулой
где - показатель преломления вещества линзы относительно окружающей среды, а радиусы поверхностей линзы считаются положительными для выпуклой поверхности и отрицательными для вогнутой*. Показатель преломления воздуха можно считать равным , так что отношение оптической силы линзы в среде к ее оптической силе в воздухе равно
Как видно, при оптическая сила линзы убывает по модулю, сохраняя тот же знак, что и в воздухе, при оптическая сила обращается в ноль, а при оптическая сила меняет знак (то есть собирающая линза превращается в рассеивающую и наоборот), а по модулю растет, и для оптическая сила . Можно описать все эти изменения с помощью графика (см. рисунок).
*Ответ не обязательно обосновывать с помощью этой формулы. Достаточно указать, что оптическая сила тонкой линзы линейно зависит от показателя преломления ее вещества относительно среды (это можно легко обосновать, если сослаться на закон преломления и использование параксиального приближения, хотя само обоснование не является необходимым для участника) и обращается в ноль при совпадении его с . Ясно, что это приводит к выводу, что , где зависит только от геометрических параметров линзы, и этого достаточно для построения ответа.
Решение задачи: Из условия ясно, что ось пучка совпадает с главной оптической осью линзы и пучок является параксиальным (угол падения крайнего луча на выпуклую поверхность линзы, как и угол преломления его для плоской поверхности, малы). Преломление луча на выпуклой поверхности и ход луча внутри линзы не зависит от того, погружена плоская сторона в воду или нет, поэтому крайний луч в обоих случаях выйдет из линзы в одной и той же точке (обозначим расстояние от этой точки до оси ) и попадет в фокус линзы, то есть в воздухе он пересечет оптическую ось на расстоянии от линзы, а в воде - на расстоянии . Поэтому тангенс угла преломления этого луча для плоской поверхности равен
в воздухе и
в воде. Для малых углов () тангенсы примерно равны самим углам в радианной мере, как и синусы, поэтому
С другой стороны, по закону преломления:
где - показатель преломления материала линзы, - воды, а - одинаковый в обоих случаях угол падения крайнего луча на плоскую поверхность (показатель преломления воздуха мы приняли равным ). Следовательно, .
Ответ: .
Есть отдельные правильные соображения - балл.
Ответ в целом правилен, но содержит существенные неточности, или существенно неполон, или отсутствует обоснование (для вопросов, в которых необходимо обоснование) - балла.
Ответ правилен, но присутствуют мелкие неточности, или ответ недостаточно полон, или отсутствует достаточное обоснование (для вопросов, в которых необходимо обоснование) - балла.
Ответ полностью правильный, но недостаточно обоснованный (для вопросов, в которых необходимо обоснование) - балла.
Правильный, полный и обоснованный ответ - баллов (максимальная оценка).
Есть отдельные правильные соображения - - балла.
Есть часть необходимых для решения соображений, решение не закончено или содержит серьезные ошибки - - балла.
Присутствует большая часть необходимых для решения соображений, правильно записана часть необходимых соотношений, решение не закончено или содержит ошибки - - баллов.
Присутствуют все необходимые для решения соображения, правильно записаны почти все необходимые для решения исходные уравнения, но решение не закончено или содержит ошибки - - баллов.
Присутствуют все необходимые для решения соображения, правильно записаны все необходимые для решения исходные уравнения, решение выстроено правильно с физической и логической точки зрения, но содержит ошибки - - баллов.
Присутствуют все необходимые для решения соображения, правильно записаны все необходимые для решения исходные уравнения, решение выстроено правильно с физической и логической точки зрения, но содержит одну-две мелкие неточности, не позволившие получить правильный ответ, или правильное решение с недостаточным обоснованием существенных использованных результатов - - баллов.
Правильное обоснованное решение с верным аналитическим ответом, но мелкой неточностью при получении численного ответа, либо правильное решение с правильными ответами с недостаточным обоснованием одного из использованных результатов (из числа не ключевых для решения, но необходимых) - - баллов.
Полное, правильное, обоснованное решение с правильными ответами - баллов (максимальная оценка).