Покори Воробьевы горы 2026, 11 класс, задача 4
Вопрос: При каких условиях световой пучок в оптически однородной среде можно рассматривать как набор прямолинейных лучей?
Задача: Небольшой источник звука частотой кГц находится на большом расстоянии от участка вертикальной цилиндрической стены с радиусом кривизны м, размеры которой по вертикали и горизонтали около 1 м. Горизонтальный луч, проведенный от источника к центру стены , составляет угол с перпендикуляром к стене в этой точке (см. рисунок). Маленький микрофон установлен так, что он принимает звук от источника с максимальной возможной амплитудой. Найдите расстояние от точки до микрофона. Скорость звука в воздухе м/с, его поглощением можно пренебречь.
Ответ
Ответ на вопрос: При классическом описании свет рассматривается как наложение электромагнитных волн. В приближении геометрической оптики мы пренебрегаем волновыми свойствами света, и рассматриваем его как совокупность прямолинейных в оптически однородной среде световых лучей. Волновые явления становятся существенны, когда характерные размеры препятствий и поперечные размеры световых пучков по порядку величины равны или меньше длины световой волны излучения. Таким образом, приближение геометрической оптики можно использовать, если размеры препятствий и ширина светового пучка намного больше длин волн, входящих в состав света. Оптический диапазон отвечает длинам волн (в вакууме) порядка нескольких сотен нанометров, так что можно считать, что для корректности использования волновой оптики достаточно, чтобы упомянутые размеры были много больше 1 мкм. Отметим, что в прозрачных преломляющих средах длины волн меньше, чем в вакууме, так что для линейных сред условие применимости приближения геометрической оптики остается тем же.
Решение задачи: В первую очередь обратим внимание, что длина волны этого звука
намного меньше размеров стены, так что мы можем изучать распространение звука в рамках приближения «геометрической акустики», и тогда искомая точка - это изображение источника в «цилиндрическом зеркале». Рассмотрим «лучи», падающие от источника в точку и близкую к ней точку (поскольку размеры стены намного меньше радиуса ее кривизны, то угловой размер дуги ). Отметим, что для удаленного на «большое расстояние» источника лучи и можно считать параллельными. Отраженные лучи пересекаются в точке . Так как угол падения равен углу отражения, то угол равен , а угол равен . Значит, угол равен . Из теоремы синусов для треугольника следует, что (с учетом малости угла )
Численное значение м м.
ОТВЕТ: м.