Покори Воробьевы горы 2026, 11 класс, задача 4
Вопрос: При каких условиях световой пучок в оптически однородной среде можно рассматривать как набор прямолинейных лучей?
Задача: Небольшой источник звука частотой кГц находится на большом расстоянии от участка вертикальной цилиндрической стены с радиусом кривизны м, размеры которой по вертикали и горизонтали около 1 м. Горизонтальный луч, проведенный от источника к центру стены , составляет угол с перпендикуляром к стене в этой точке (см. рисунок). Маленький микрофон установлен так, что он принимает звук от источника с максимальной возможной амплитудой. Найдите расстояние от точки до микрофона. Скорость звука в воздухе м/с, его поглощением можно пренебречь.
Ответ на вопрос: При классическом описании свет рассматривается как наложение электромагнитных волн. В приближении геометрической оптики мы пренебрегаем волновыми свойствами света, и рассматриваем его как совокупность прямолинейных в оптически однородной среде световых лучей. Волновые явления становятся существенны, когда характерные размеры препятствий и поперечные размеры световых пучков по порядку величины равны или меньше длины световой волны излучения. Таким образом, приближение геометрической оптики можно использовать, если размеры препятствий и ширина светового пучка намного больше длин волн, входящих в состав света. Оптический диапазон отвечает длинам волн (в вакууме) порядка нескольких сотен нанометров, так что можно считать, что для корректности использования волновой оптики достаточно, чтобы упомянутые размеры были много больше 1 мкм. Отметим, что в прозрачных преломляющих средах длины волн меньше, чем в вакууме, так что для линейных сред условие применимости приближения геометрической оптики остается тем же.
Решение задачи: В первую очередь обратим внимание, что длина волны этого звука
намного меньше размеров стены, так что мы можем изучать распространение звука в рамках приближения «геометрической акустики», и тогда искомая точка - это изображение источника в «цилиндрическом зеркале». Рассмотрим «лучи», падающие от источника в точку и близкую к ней точку (поскольку размеры стены намного меньше радиуса ее кривизны, то угловой размер дуги ). Отметим, что для удаленного на «большое расстояние» источника лучи и можно считать параллельными. Отраженные лучи пересекаются в точке . Так как угол падения равен углу отражения, то угол равен , а угол равен . Значит, угол равен . Из теоремы синусов для треугольника следует, что (с учетом малости угла )
Численное значение м м.
ОТВЕТ: м.
Есть неверный ответ с частично правильной терминологией.
Есть разумные соображения.
В основном все правильно, но есть заметные неточности или ответ неполон.
Правильный ответ с мелкими недочетами или недостаточно обоснованный.
Полный, правильный и обоснованный ответ.
Вычислена длина звуковой волны (1 балл)
Объяснено, что волновые эффекты несущественны и можно использовать приближение «геометрической акустики» (4 балла)
Анализируется отражение «лучей» от цилиндрического зеркала (1 балл)
Указано (используется в решении), что для удаленного на «большое расстояние» источника лучи можно считать параллельными (2 балла)
Правильно используется условие (2 балла)
Есть правильное построение хода лучей (3 балла)
Правильно определены все используемые углы (можно сразу использовать условие малости ) (3 балла)
Получены правильные ответы (аналитический и численный) ( балла)