Робофест 2026, Отбор, 11 класс, задача 2
Ящики с грузом постоянной массы поднимают по наклонной плоскости с помощью лебедки и легкого нерастяжимого троса. Высота плоскости по вертикали , ее горизонтальная проекция .
Изначально у плоскости было такое покрытие, что коэффициент трения ящика о плоскость равнялся .
1. Найдите отношение величины силы натяжения троса к величине силы тяжести, действующей на ящик, при движении ящика с постоянной скоростью . Ответ запишите с точностью до десятых.
Двигатель лебедки подключен к аккумулятору, создающему постоянное напряжение, его статор — постоянный магнит, сопротивление цепи ротора можно считать постоянным. Известно, что сила натяжения троса, возникающая за счет работы лебедки, прямо пропорциональна силе тока, текущего в цепи ротора ее двигателя.
2. Определите характер зависимости скорости движения ящика в установившемся режиме от силы тока в цепи ротора . Выберите правильную зависимость из списка ниже и укажите ее номер в ответе: (1) прямая пропорциональность; (2) обратная пропорциональность; (3) линейная, но не прямая пропорциональность; (4) квадратичная; (5) кубическая.
При замене покрытия плоскости, в результате которой коэффициент трения ящика о плоскость стал равен , скорость движения ящика в установившемся режиме (при том же аккумуляторе и той же лебедке) увеличилась до . Затем покрытие еще раз заменили, и теперь коэффициент трения ящика о плоскость стал равен .
3. Какой теперь стала скорость движения ящика в установившемся режиме? Ответ запишите в с точностью до сотых.
Ответы: 1. 0,8. 2. 3. 3. 1,92.
Возможное решение: Сила трения груза о плоскость, которая в данном случае является силой трения скольжения, равна
Так как груз движется с постоянной скоростью, то сила, с которой двигатель тянет трос, постоянна и равна сумме силы трения и проекции силы тяжести на плоскость:
Отметим, что
и поэтому
Значит, искомое отношение
Для получаем .
Обозначим ЭДС аккумулятора , а — сопротивление цепи ротора. Мощность затрат аккумулятора идет на компенсацию джоулевых потерь в цепи ротора
и полезную мощность
Согласно условию, , где — постоянный коэффициент. Следовательно,
Таким образом, зависимость скорости движения ящика в установившемся режиме от силы тока в цепи ротора является линейной (но не прямой пропорциональностью). Правильный вариант — .
Удобно переписать полученную зависимость через величину, меняющуюся вместе с коэффициентом трения, — например, через :
Используя два известных значения скорости, находим постоянные коэффициенты и :
Мы получили явную связь скорости и :
Поскольку
то
— баллов; в интервале — балл.
— баллов; — балл.
— баллов; в интервале — балла.