Нагревать или изолировать?
Пусть склад - это однокомнатное помещение без окон с теплоизолирующими стенками, в котором установлено шесть одинаковых электрических нагревателей. Все нагреватели подключаются параллельно к внешней сети, которую можно при расчетах заменить на один эквивалентный источник постоянного напряжения. Известно, что мощность потока тепла из склада на улицу прямо пропорциональна разности температур (внутри и снаружи склада) и обратно пропорциональна толщине теплоизоляции. Нам необходимо поддерживать на складе температуру не ниже при температуре на улице . При толщине слоя теплоизоляции и одном включенном нагревателе установившаяся температура на складе равнялась . При двух включенных нагревателях температура стала равна . При каком минимальном количестве включенных нагревателей температура достигнет нужного значения? Какую максимальную температуру на складе можно обеспечить при такой наружной температуре и этой толщине слоя теплоизоляции? Какой нужно сделать толщину слоя того же теплоизолирующего материала, чтобы необходимая температура достигалась при одном включенном нагревателе?
Возможное решение:
Рассмотрим нагревателей, подключенных к внешней сети параллельно. Сила потребляемого тока равна , где - ЭДС эквивалентного источника, а - его внутреннее сопротивление. Общее тепловыделение всех нагревателей возмещает потери тепла через стены:
Здесь константа пропорциональности в формуле для мощности потока тепла обозначена , и также введены обозначения и . Используем заданные значения температур:
Из этого соотношения получается квадратное уравнение на , у которого необходимо выбрать положительный корень: . Подставляя это значение в любую из формул, находим . Следовательно, при этой толщине теплоизоляции зависимость установившейся температуры на складе от числа подключенных нагревателей имеет вид
Например, при и получаем . Как видно, минимальное количество включенных нагревателей, обеспечивающих нужную температуру - это три.
Максимальная температура обеспечивается минимальностью значения величины . Для нахождения нужного можно рассуждать следующим образом. Из очевидного неравенства следует, что , то есть . Видно, что равенство достигается при , то есть именно при этом значении и достигается минимум . Полагая , приходим к выводу, что максимальная температура будет достигнута при , и она будет равна
Интересно: подключение пятого, шестого и т.д. нагревателя понизит установившуюся температуру (подумайте, почему)!
Как мы знаем, поток тепла, который будет обеспечиваться одним нагревателем, будет прямо пропорционален разности температур и обратно пропорционален толщине слоя утеплителя. Таким образом, для достижения поставленной цели толщина должна увеличиться во столько же раз, во сколько нужно увеличить разность температур:
Ответы: при , , .
Правильное определение минимального количества нагревателей
Правильно записано уравнение теплового баланса
Формула для разности внутренней и наружной температуры правильно записана так, что она содержит две «эмпирические» константы
Правильно определены обе константы
Найдено правильное минимальное число нагревателей
Правильное определение максимальной температуры, достижимой с помощью подключения нагревателей
Правильно определен максимум зависимости установившейся температуры на складе от числа подключенных нагревателей ()
Найдено правильное значение
Правильное определение необходимой толщины теплоизоляции
Указано, что достижения поставленной цели толщина слоя изоляции должна увеличиться во столько же раз, во сколько нужно увеличить разность температур
Найдено правильное значение