Нагревать или изолировать?
Пусть склад - это однокомнатное помещение без окон с теплоизолирующими стенками, в котором установлено шесть одинаковых электрических нагревателей. Все нагреватели подключаются параллельно к внешней сети, которую можно при расчетах заменить на один эквивалентный источник постоянного напряжения. Известно, что мощность потока тепла из склада на улицу прямо пропорциональна разности температур (внутри и снаружи склада) и обратно пропорциональна толщине теплоизоляции. Нам необходимо поддерживать на складе температуру не ниже при температуре на улице . При толщине слоя теплоизоляции и одном включенном нагревателе установившаяся температура на складе равнялась . При двух включенных нагревателях температура стала равна . При каком минимальном количестве включенных нагревателей температура достигнет нужного значения? Какую максимальную температуру на складе можно обеспечить при такой наружной температуре и этой толщине слоя теплоизоляции? Какой нужно сделать толщину слоя того же теплоизолирующего материала, чтобы необходимая температура достигалась при одном включенном нагревателе?
Ответ
Возможное решение:
Рассмотрим нагревателей, подключенных к внешней сети параллельно. Сила потребляемого тока равна , где - ЭДС эквивалентного источника, а - его внутреннее сопротивление. Общее тепловыделение всех нагревателей возмещает потери тепла через стены:
Здесь константа пропорциональности в формуле для мощности потока тепла обозначена , и также введены обозначения и . Используем заданные значения температур:
Из этого соотношения получается квадратное уравнение на , у которого необходимо выбрать положительный корень: . Подставляя это значение в любую из формул, находим . Следовательно, при этой толщине теплоизоляции зависимость установившейся температуры на складе от числа подключенных нагревателей имеет вид
Например, при и получаем . Как видно, минимальное количество включенных нагревателей, обеспечивающих нужную температуру - это три.
Максимальная температура обеспечивается минимальностью значения величины . Для нахождения нужного можно рассуждать следующим образом. Из очевидного неравенства следует, что , то есть . Видно, что равенство достигается при , то есть именно при этом значении и достигается минимум . Полагая , приходим к выводу, что максимальная температура будет достигнута при , и она будет равна
Интересно: подключение пятого, шестого и т.д. нагревателя понизит установившуюся температуру (подумайте, почему)!
Как мы знаем, поток тепла, который будет обеспечиваться одним нагревателем, будет прямо пропорционален разности температур и обратно пропорционален толщине слоя утеплителя. Таким образом, для достижения поставленной цели толщина должна увеличиться во столько же раз, во сколько нужно увеличить разность температур:
Ответы: при , , .