Троеточие

Решение.

Если линза рассеивающая, то, независимо от положения источника, его изображение будет мнимым, расположенным между источником и оптическим центром линзы. После перемещения источника в точку, где ранее было расположено его изображение, новое изображение окажется снова между источником и оптическим центром линзы. Получится бесконечная цепочка изображений. Таким образом, три точки с указанным свойством в случае рассеивающей линзы существовать не могут.

Линза может быть только собирающей.

Мнимое изображение в собирающей линзе всегда расположено дальше от линзы, чем источник, поэтому не может быть, что точки , и являются мнимыми изображениями друг друга. Но, в соответствии с принципом обратимости хода световых лучей, при помещении источника в точку действительного изображения его новое изображение совпадает с предыдущим положением источника. Поэтому описанным в условии свойством три точки могут обладать только в том случае, если две из них являются действительными изображениями друг друга, а при помещении источника в третью он даёт мнимое изображение в одной из точек этой пары.

Пусть, например, собирающая линза расположена так, что точка находится за её фокальной плоскостью. Тогда изображение будет действительным и будет расположено по другую сторону от плоскости линзы. При перемещении источника в точку этого изображения новое изображение вернётся в точку . Оставшееся, третье положение источника, должно давать мнимое изображение в одной из первых двух точек. Значит, оно должно располагаться между этой точкой — своим изображением — и оптическим центром линзы ближе фокальной плоскости линзы.

В этом случае линза могла быть расположена двумя способами:

а) оптический центр линзы находится между точками и , причём источник в точке даёт мнимое изображение в точке ;

б) оптический центр линзы находится между точками и , причём источник в точке даёт мнимое изображение в точке .

Таким образом, оптический центр линзы мог располагаться как справа, так и слева от точки .

Если же источник сначала расположить между фокальной плоскостью и плоскостью линзы, то изображение будет получаться мнимым. При помещении источника в точку изображения новое изображение должно получиться действительным — по другую сторону плоскости линзы. И при перемещении источника в оставшуюся, третью точку, изображение окажется на месте, где источник располагался ранее. Этот вариант идентичен представленному ранее и отдельного рассмотрения не требует.

Рассмотрим только способ а) размещения линзы, так как способ б) аналогичен. Источник, расположенный в точке на расстоянии меньшем фокусного, даёт мнимое изображение в точке . При помещении источника в точку возникает действительное изображение в точке , при помещении источника в точку — действительное изображение в точке .

Обозначим расстояние между оптическим центром линзы и источником, угол между главной оптической осью линзы и прямой и фокусное расстояние линзы за , и соответственно.

Запишем формулу тонкой линзы для варианта расположения источника в точке :

Запишем формулу тонкой линзы для варианта расположения источника в точке :

Решая систему, находим и . Расстояние между оптическим центром линзы и точкой равно

Решение системы уравнений даёт:

откуда

Поскольку в условии сказано, что угол является малым, допустимо на любом этапе вычислений использовать приближённое равенство

Тогда приходим к формуле

Отметим, что малость угла означает, что с точностью до поправок порядка параметры системы связаны соотношением

Угол между главной оптической осью линзы и прямой равен

или