Я надел свои очки
Часто на портретных фотографиях, сделанных с помощью камеры смартфона (рис. 1), в отражении очков фотографирующего можно увидеть изображение его смартфона.
Определите по фотографии ниже радиус кривизны поверхности очков, оцените погрешность измерений. Считайте, что расстояние между смартфоном и очками известно точно и равно .
На рис. 2 изображены смартфон и очки, лежащие рядом друг с другом. Длины, необходимые для получения числового ответа в задаче, можно измерить с помощью линейки по фотографиям из условия.
Решение.
Обозначим реальный размер очков за , а реальный размер смартфона за . Пусть также — угловой размер изображения очков на портретной фотографии, а — угловой размер изображения смартфона на ней. Измерим отношение размеров изображений очков и смартфона на двух фотографиях:
На левой фотографии отношение размеров изображений соответствует отношению реальных размеров, а на правой — отношению угловых размеров изображений.
Сделаем простейший чертёж расположения изображения смартфона и очков на правой фотографии. Обозначим размер изображения смартфона за , расстояние между изображением смартфона и очками за . Угловые размеры изображения смартфона и очков на правой фотографии в приближении малых углов даются формулами:
Положение изображения определяется формулой сферического зеркала:
где — радиус кривизны зеркала. Размер изображения смартфона связан с его реальным размером через увеличение зеркала:
Объединяя уравнения, получим:
Рассчитаем с учётом погрешности измерений минимально возможное значение радиуса кривизны и максимальное:
Тогда окончательное значение радиуса кривизны с учётом погрешностей измерений:
На обеих фотографиях измерены величины изображений смартфона и очков: значения по балла.
Записаны погрешности прямых измерений длин смартфона и очков на обеих фотографиях: предмета по балла.
Указано, что отношение размеров на рисунке является отношением линейных размеров очков и смартфона.
Указано, что отношение размеров изображения смартфона в очках и изображения очков на рисунке следует считать отношением их угловых размеров, или объяснено, что оно не является отношением их линейных размеров, так как изображение смартфона и очки находились на разных расстояниях от плоскости объектива.
Записаны выражения для угловых размеров изображения смартфона в очках и очков на портретной фотографии.
Записана формула зеркала с верными знаками: .
Записано выражение для увеличения зеркала: .
Получена верная формула для расчёта радиуса кривизны: .
Рассчитанное значение радиуса кривизны (или среднее значение в случае расчёта погрешностей) попадает в диапазон, указанный в авторском решении.
Верно рассчитано значение погрешности измерений.