Я надел свои очки
Часто на портретных фотографиях, сделанных с помощью камеры смартфона (рис. 1), в отражении очков фотографирующего можно увидеть изображение его смартфона.
Определите по фотографии ниже радиус кривизны поверхности очков, оцените погрешность измерений. Считайте, что расстояние между смартфоном и очками известно точно и равно .
На рис. 2 изображены смартфон и очки, лежащие рядом друг с другом. Длины, необходимые для получения числового ответа в задаче, можно измерить с помощью линейки по фотографиям из условия.
Ответ
Решение.
Обозначим реальный размер очков за , а реальный размер смартфона за . Пусть также — угловой размер изображения очков на портретной фотографии, а — угловой размер изображения смартфона на ней. Измерим отношение размеров изображений очков и смартфона на двух фотографиях:
На левой фотографии отношение размеров изображений соответствует отношению реальных размеров, а на правой — отношению угловых размеров изображений.
Сделаем простейший чертёж расположения изображения смартфона и очков на правой фотографии. Обозначим размер изображения смартфона за , расстояние между изображением смартфона и очками за . Угловые размеры изображения смартфона и очков на правой фотографии в приближении малых углов даются формулами:
Положение изображения определяется формулой сферического зеркала:
где — радиус кривизны зеркала. Размер изображения смартфона связан с его реальным размером через увеличение зеркала:
Объединяя уравнения, получим:
Рассчитаем с учётом погрешности измерений минимально возможное значение радиуса кривизны и максимальное:
Тогда окончательное значение радиуса кривизны с учётом погрешностей измерений: