Точно не Снеллиус?
Даны светящийся отрезок , точка — изображение точки , создаваемое некоторой тонкой линзой, и прямая , проходящая через точку (см. рисунок).
Известно, что точка лежит в плоскости двойного фокуса линзы, а точка (изображение точки ) лежит на прямой . Для всех возможных ситуаций с помощью циркуля и линейки без делений восстановите:
1. положение оптического центра линзы;
2. положение линзы и положение её главной оптической оси;
3. положение фокусов линзы;
4. положение точки .
На отдельном листе приведено два рисунка. Все построения выполняйте на этом листе, опишите их. Метод построения параллельных и перпендикулярных прямых, проходящих через заданную точку, деление отрезка пополам, откладывание равных отрезков и подобные стандартные геометрические процедуры описывать не обязательно.
Считайте, что данная линза любые лучи (даже непараксиальные) преломляет по тем же правилам, что и параксиальные. Параксиальный луч — это луч, идущий под малым углом к главной оптической оси линзы и на малом расстоянии от неё.
Решение.
В условии задачи не указан тип линзы, поэтому необходимо понять, какая линза может быть. Изображение действительного объекта в рассеивающей линзе всегда лежит между фокальной плоскостью и плоскостью линзы. Так как лежит в плоскости двойного фокуса, то линза не может быть рассеивающей, поэтому делаем вывод, что линза собирающаяся. Изображение может быть действительным или мнимым.
Рассмотрим сначала случай, когда изображение действительное. Если изображение действительное, то точки и лежат в плоскостях двойного фокуса и оптический центр лежит на середине отрезка .
Рассмотрим теперь случай, когда изображение мнимое. В этом случае лежит между фокальной плоскостью и плоскостью линзы. Запишем формулу тонкой линзы для этого случая:
откуда находим, что
а расстояние между предметом и его изображением
в два раза больше расстояния между предметом и линзой .
Для построения оптического центра линзы в первом случае делим отрезок пополам, на середине этого отрезка и будет оптический центр . Во втором случае делим отрезок пополам, продолжаем прямую, проходящую через этот отрезок за точку , и откладываем ещё половину отрезка — найденная точка будет оптическим центром .
Для восстановления положения линзы найдём вторую точку линзы, для этого заметим, что луч после преломления в линзе пойдёт вдоль прямой , так как изображение точки также лежит на этой прямой. Продолжим прямую, проходящую через отрезок , до пересечения с прямой , найденная точка пересечения будет принадлежать плоскости линзы. Рисуем линзу в виде отрезка, содержащего точки и . Для восстановления главной оптической оси (далее — ГОО) построим перпендикуляр к линзе в точке .
Чтобы найти фокус, можно пойти двумя путями.
а) Пустим из точки луч, идущий параллельно ГОО, который после преломления в линзе пройдёт через точку и пересечёт ГОО в точке фокуса.
б) Вспомним, что точка лежит в двойной фокальной плоскости. Проведём эту плоскость, определим по её пересечению с ГОО точку двойного фокуса, разделим получившийся отрезок пополам и получим точку фокуса . На рисунке представлены построения, соответствующие второму способу решения.
Чтобы построить точку , можно пойти двумя путями.
а) Пустим из точки луч, параллельный ГОО. После преломления в линзе этот луч пройдёт через фокус и пересечётся с прямой в точке .
б) Пустим из точки луч, проходящий через оптический центр . Луч в первом случае или его продолжение во втором случае пересечётся с прямой как раз в точке .
Указано, что линза является собирающей.
Случай с действительным изображением. Сделано утверждение, что точка лежит в плоскости двойного фокуса.
Случай с действительным изображением. Указано, что оптический центр линзы — середина отрезка , восстановлено положение оптического центра.
Случай с мнимым изображением. Сделано утверждение или показано на рисунке, что точка лежит между плоскостью линзы и фокальной плоскостью.
Случай с мнимым изображением. Правильно записана формула тонкой линзы.
Случай с мнимым изображением. Правильно найдено и восстановлено положение оптического центра линзы.
Найдено пересечение продолжения отрезка и прямой .
В случае действительного изображения восстановлено положение линзы.
В случае мнимого изображения восстановлено положение линзы.
В случае действительного изображения восстановлена главная оптическая ось линзы.
В случае мнимого изображения восстановлена главная оптическая ось линзы.
В случае действительного изображения восстановлены положения фокусов линзы.
В случае мнимого изображения восстановлены положения фокусов линзы.
В случае действительного изображения восстановлено положение точки .
В случае мнимого изображения восстановлено положение точки .