Цилиндр

Заметим, что по условию фотографирование происходит с большого расстояния, поэтому можно считать, что увеличение цилиндра в направлении его оси отсутствует. Дополнительно можно убедиться в этом, проверив, что точки пересечения линий миллиметровки и их изображений лежат примерно на оси цилиндра.

Теперь исследуем увеличение для параксиальных лучей в направлении, перпендикулярном оси цилиндра. Пусть расстояние от оси цилиндра до плоскости равно . Будем считать его положительным, если осталось больше половины цилиндра. Рассмотрим точку, смещённую от плоскости симметрии системы на малое расстояние . Найдём положение её изображения, образованного параксиальными лучами.

Из закона преломления света получаем:

.

Запишем геометрические соотношения.

.

Выразим и подставим значение .

.

Получаем искомое увеличение:

.

Заметим, что мы видим не всю миллиметровку, которую закрывает цилиндр. Такое может быть только в случае , то есть отрезали меньше половины цилиндра. По фотографии видно, что область видимости ограничивают лучи, идущие по касательной к цилиндру.

Из закона преломления света имеем:

,

,

.

Теперь достаточно измерить по фотографии и . Тогда у нас будет система из двух уравнений с двумя неизвестными.

Проведём ось цилиндра, вертикальную линию миллиметровки и касательную к её изображению в точке на оси цилиндра. Отрезок — перпендикуляр из точки касательной на ось цилиндра. Тогда увеличение можно найти по фотографии:

.

Для поиска области видимости можем воспользоваться подобием: для любой прямой можем определить, какую её часть видно через цилиндр. Воспользуемся горизонтальной линией на миллиметровке: закрыто цилиндром , видно через цилиндр .

.

Для удобства введём обозначение .

.

Получили уравнение на , которое можно решить численно: . Подставляя полученное значение в формулы для , получаем:

.

При этом искомая величина выражается через :

.