Круг Снелла
Говорят, что в архиве Снеллиуса нашли чертёж оптической схемы, на которой были изображены тонкая собирающая линза, круг и его изображение в линзе. От времени чернила выцвели, и на чертеже остались видны лишь круг и его изображение, но известно, что круг целиком располагался в плоскости, проходящей через главную оптическую ось линзы, и что круг и его изображение располагались по разные стороны от плоскости линзы.
Пользуясь только циркулем и линейкой без делений, восстановите положения:
- оптического центра линзы;
- плоскости линзы;
- фокусов и линзы.
Примечание. На дополнительном листе чертёж приведён в увеличенном масштабе. Все построения выполняйте на нём.
Примечание. Описывать построение параллельных и перпендикулярных прямых, проходящих через заданную точку, деление отрезка пополам и подобные стандартные геометрические процедуры не обязательно.
Возможное решение.
Поскольку плоскость линзы находится между источником и его изображением, то изображение является действительным, причём фокальные плоскости линзы также находятся между ними — в противном случае изображение оказалось бы «разорванным» на действительную и мнимую часть.
Точечный источник и его изображение в линзе лежат на прямой, проходящей через оптический центр . Если прямая, проходящая через оптический центр, касается круга, то на этой прямой находится изображение лишь одной его точки. Это означает, что данная прямая касается и изображения круга. Из этого следует, что оптический центр линзы находится в точке пересечения общих внутренних касательных и к кругу и его изображению.
Рассмотрим луч, проходящий через точки и . После преломления в линзе он проходит через точки пересечения касательных к изображению круга и . Поэтому в точке пересечения линий, проходящих через точки круга и его изображения, находится точка , принадлежащая плоскости линзы. Проведя прямую , найдём положение плоскости линзы.
Отметим, что для построения плоскости линзы можно провести через любые две прямые, пересекающие круг и его изображение (например, и ), выбрать на этих прямых точки, принадлежащие кругу, используя найденный центр линзы определить изображения этих точек ( и ), а затем провести через эти пары точек прямые до пересечения, чтобы определить положение точки в плоскости линзы.
Однако при таком подходе важно не перепутать изображения этих точек с другими точками пересечения прямых , с линией изображения — «ложные точки» и . Для правильного выбора достаточно заметить, что для действительных изображений в собирающей линзе увеличение расстояния от предмета до линзы приводит к уменьшению расстояния от линзы до изображения. Поэтому изображениям «дальних» от точек пересечения круга с прямыми ( и ) отвечают «ближние» к точки пересечения этих прямых с эллипсом-изображением.
Заканчивая построение, определим главную оптическую ось линзы как прямую, проходящую через точку перпендикулярно . Наконец, для определения положения фокусов линзы рассмотрим лучи, идущие параллельно главной оптической оси через точку и её изображение . По другую сторону от линзы эти лучи проходят через точки и соответственно, пересекая оптическую ось в точках фокусов и .
Как видно, фокальные плоскости действительно оказались между кругом и его изображением.
Указано или используется в ходе решения, что оптический центр линзы находится в точке пересечения внутренних касательных к кругу и его изображению.
Предыдущее утверждение обосновано.
Правильно восстановлен построением оптический центр линзы .
Указано или используется в ходе решения, что точка пересечения прямой, проходящей через два точечных источника, и прямой, проходящей через их изображения, принадлежит плоскости линзы.
Правильно восстановлена построением плоскость линзы.
Указано или используется в ходе решения, что главная оптическая ось линзы — перпендикуляр к плоскости линзы, проходящий через оптический центр.
Правильно восстановлена построением главная оптическая ось линзы.
Правильно восстановлены построением фокусы линзы и .