Инженерная олимпиада 2024, 10 класс, задача 3
На поверхности воды в цилиндрическом сосуде лежит массивный подвижный поршень площадью и толщиной , плотно прилегающий к стенкам сосуда. Центральная часть поршня площадью вырезана из поршня и может перемещаться относительно него, не пропуская в зазоры воду (см. левый рисунок). На центральную часть кладут тело. При какой минимальной массе тела центральная часть вывалится из поршня (правый рисунок)? Чему равно перемещение центральной части и поршня относительно сосуда к этому моменту? Трение отсутствует.
Решение.
Пусть масса поршня равна . Тогда под поршнем создается давление воды
При опускании центральной части давление под остальной частью поршня останется таким же: пропорционально изменится масса остальной части и ее площадь.
Пусть максимальная масса тела, при которой центральная часть еще не выпадает из поршня, равна . Тогда для самого нижнего положения центральной части (см. рисунок) давление воды под поверхностью центральной части поршня (с телом) будет больше давления под остальной частью поршня на :
Это давление уравновесит массу центральной части поршня и дополнительную массу тела, причем массу тела будет уравновешивать именно избыточное давление воды под центральной частью по сравнению с ее давлением под остальной частью поршня:
Найдем теперь перемещение центральной части поршня относительно сосуда. Пусть это перемещение равно . Тогда центральная часть при своем перемещении вытесняет объем воды
Этот объем должен разместиться под остальной частью поршня, поднимая ее. Поэтому
где - перемещение остальной части поршня относительно сосуда к рассматриваемому моменту. Отсюда
А поскольку перемещение центральной части относительно остального поршня равно толщине поршня , получаем
Правильный вывод, что давление воды под поршнем в начальный момент уравновешивает и центральную, и остальную части поршня
Правильная идея нахождения массы тела: массу тела уравновешивает избыточное давление воды под центральной частью
Правильный ответ для массы тела
Правильная идея нахождения перемещения: вытесненный объем воды поднимает остальную часть поршня
Правильные перемещения центральной части и поршня относительно сосуда