Инженерная олимпиада 2025, 11 класс, задача 4
Вертикальный цилиндрический сосуд разделен не пропускающими воду вертикальными теплопроводящими перегородками на три части, одна из которых составляет половину сосуда, а две другие - по одной четверти сосуда (см. рисунок, вид сверху).
В получившиеся отсеки до самого верха сосуда налита вода при разной температуре - , , . Известно, что через некоторое время горячая вода остыла на . Как изменилась температура воды в других отсеках? Перегородки имеют одинаковую толщину и сделаны из одного материала, сосуд теплоизолирован.
Указание. Поток тепла между телами пропорционален площади их контакта и разности температур.
Ответ
Так как площади контактов между всеми отсеками сосуда одинаковы, а перегородки изготовлены из одного и того же материала и имеют одинаковую толщину, для потока тепла от любого более горячего отсека к любому более холодному можно написать
где - одинаковый для всех отсеков коэффициент пропорциональности, и - температуры более горячей и более холодной воды. Далее, поскольку изменение температур воды во всех отсеках гораздо меньше разности температур воды в отсеках, можно считать, что поток в рассматриваемых процессах практически не изменяется. Поэтому уравнение теплового баланса для остывания воды в горячем отсеке имеем
( - удельная теплоемкость воды, - масса воды в самом горячем отсеке). Уравнение теплового баланса для нагревания воды в самом холодном отсеке дает
где - увеличение температуры воды в отсеке с самой холодной водой. Здесь учтено, что масса воды в отсеке с холодной водой вдвое меньше массы воды в отсеке с горячей водой.
Отсек с водой промежуточной температуры будет получать тепло от отсека с горячей водой и отдавать тепло отсеку с холодной водой. Но поскольку (как это следует из условия)
то отсек со средней температурой больше получает, чем отдает тепла, и, следовательно, вода в нем нагреется. Поэтому уравнение теплового баланса для нагрева воды в этом отсеке имеем
где - увеличение температуры воды со средней температурой. Выражая коэффициент из формулы и подставляя его в формулы и , получим