Инженерная олимпиада 2022, 9 класс, задача 6
Четыре одинаковых стержня , , и соединены так, как показано на рисунке. В точках соединения обеспечен тепловой контакт между стержнями. Температуры точек , и поддерживаются равными: , , . Найти температуру точки . Поток тепла по стержню зависит от его длины, площади сечения и материала и пропорционален разности температур его концов. Потоком тепла через боковые поверхности стержней пренебречь.
Пусть имеется стержень, концы которого поддерживаются при температуре и (). Тогда по стержню от конца с большей температурой в направлении конца с меньшей температурой распространяется поток тепла
где - коэффициент пропорциональности, зависящий от «геометрии» стержня (длины и площади сечения) и его материала, но не зависящий от температур. Если считать поток тепла в некотором направлении положительным, если тепло распространяется именно в этом направлении, и отрицательным - если в противоположным, то формула имеет место независимо от соотношения температур его концов.
Рассмотрим тепловое равновесие системы стержней. В равновесии температура точки не меняется с течением времени, поэтому поток тепла, приходящего в точку , равен потоку тепла, уходящего от точки . Или сумма всех потоков тепла, входящих в точку , должна равняться нулю:
Используя формулу для потока тепла, находим
где - температура точки . Для потока тепла от к написать формулу с тем же коэффициентом пропорциональности нельзя, поскольку стержень имеет другую длину. Но этот поток можно найти так. Потоки тепла по стержням и одинаковы, поскольку в равновесии температура точки не меняется. Поэтому температура точки является средним арифметическим температур точек и , а разность температур точек и ровно вдвое меньше разности температур точек и . Поэтому
Поэтому
Отсюда
Правильная идея решения – использовать условие равенства потоков тепла в точку D – 0,5 балла.
Правильное использование закона Фурье для потоков тепла. Доказательство, что для потока тепла по двойному стержню AD коэффициент пропорциональности в законе Фурье вдвое меньше – 0,5 балла.
Правильное уравнение теплового баланса точки – 0,5 балла.
Правильный ответ для температуры точки D – 0,5 балла.