Инженерная олимпиада 2025, 11 класс, задача 2
Внутри гладкой горизонтальной трубы находится моль одноатомного идеального газа, ограниченного с двух сторон двумя подвижными поршнями, соединенными пружиной (см. рисунок).
Газ нагрели и его температура увеличилась от значения К до значения К. Какое количество теплоты нужно подвести для этого к газу, если известно, что длина пружины увеличилась в этом процессе в раза? Атмосферным давлением пренебречь. Дж/(мольК).
По первому закону термодинамики количество теплоты , сообщенное газу, расходуется на увеличение его внутренней энергии и совершение им работы:
Изменение внутренней энергии:
Для нахождения работы газа разобьем перемещение поршня на малые элементы, вычислим элементарную работу газа на каждом из них, просуммируем элементарные работы. Эту сумму можно вычислить графически, как площадь под графиком зависимости давления газа от его объема.
Поскольку давление газа определяется силой упругости пружины, а последняя линейно зависит от ее удлинения, давление газа в рассматриваемом процессе является линейной функцией объема. Поэтому работа газа равна площади трапеции с основаниями и (начальное и конечное давления газа) и высотой (конечный и начальный объем, причем ). Имеем
Используя далее закон Клапейрона-Менделеева, получим
В результате получаем из первого закона термодинамики для количества теплоты, полученного газом в рассматриваемом процессе
Использован первый закон термодинамики
Правильно найдено изменение внутренней энергии газа
Сделано обоснованное утверждение, что давление является линейной функцией объема
Вычислена работа газа как площадь под графиком
Правильный ответ (и формула, и число)