Инженерная олимпиада 2022, 10 класс, задача 4
Тело сварено из двух стержней одного и того же материала. Радиусы поперечных сечений стержней отличаются вдвое, длина более толстого стержня втрое больше длины более узкого (см. рисунок). Тело нагрето так, что его температура меняется по линейному закону от значения на тонком конце до значения на конце . Найти температуру тела после установления равновесия. Потерями тепла в окружающее пространство пренебречь.
Мысленно разобьем стержень на бесконечно малые слои массой , , и т.д. настолько малые, что температуру внутри каждого слоя можно считать неизменной. Тогда уравнение теплового баланса для стержня дает
где - установившаяся температура стержня, , , и т.д. - температуры слоев. Раскрывая в этом выражении скобки, получим
Масса каждого слоя пропорциональна его длине : , где - масса единицы длины стержня. Поскольку стержни изготовлены из одного материала, а радиусы их сечения отличаются вдвое, то масса единицы длины тонкого стержня вдвое меньше массы единицы длины толстого. В результате уравнение теплового баланса можно переписать в виде
где - масса единицы длины тонкого стержня, первая сумма распространяется на те участки тела, которые принадлежат тонкому стержню, вторая - толстому.
Аналогичные бесконечные суммы вычисляются графическим методом при нахождении работы переменной силы. Идея такого вычисления заключается в том, что суммы в скобках равны площади под графиком зависимости температуры от длины стержня . Графики зависимости температуры от длины стержня, отсчитанной от тонкого конца, для тонкого и толстого стержня показаны на левом рисунке и правом рисунке соответственно.
Здесь - длина тонкого стержня, температура точки контакта стержней найдена из условия линейности зависимости температуры стержня от его длины, на правом и левом графиках использованы разные масштабы. Находя площади под этими графиками, получим
Учитывая, что
получим
Этот же ответ можно получить и по-другому. Из графического метода следует, что для линейного распределения температуры по однородному стержню его установившаяся температура будет равна полусумме температур его концов. Это значит, что если бы установилась температура только внутри тонкого стержня, она была бы равна . Если бы установилась температура только внутри толстого стержня, она была бы равна , а поскольку масса тонкого стержня в раз меньше толстого, установившаяся температура всего стержня определяется соотношением
Правильная основная идея решения – разбиение стержня на малые участки и использование уравнения теплового баланса (обоснование того, что при линейном изменении температуры однородного стержня установится средняя температура) – 0,5 балла.
Правильное нахождение температуры большого стержня – 0,5 балла.
Правильное нахождение температуры малого стержня – 0,5 балла.
Правильный ответ для установившейся температуры всего стержня – 0,5 балла.