Инженерная олимпиада 2025, 10 класс, задача 2
Закрытый вертикальный цилиндрический сосуд высотой разделен на два отсека массивным поршнем. В нижнем отсеке находится кислород, а в верхнем - гелий при одинаковых температурах. В начальный момент объемы нижнего и верхнего отсеков сосуда одинаковы, а поршень находится в равновесии. Известно, что количество вещества гелия втрое меньше количества вещества кислорода. В некоторый момент времени зазоры между поршнем и стенками сосуда начинают пропускать гелий, но не пропускают кислород. На какой высоте от дна сосуда окажется поршень через достаточно большое время? Температура газов не менялась в течение всего процесса.
Ответ
Пусть количество вещества гелия равно . Тогда количество вещества кислорода равно , а условие равновесия поршня в начальном состоянии дает
где - масса поршня, - площадь сечения сосуда, и - давления кислорода и гелия в начальном состоянии, - объем сосуда, - температура газов (здесь использовано уравнение Клапейрона-Менделеева для кислорода и гелия в начальном состоянии).
После того, как гелий распространится по всему сосуду, давление газа в нижнем отсеке будет складываться из парциальных давлений кислорода и гелия, в верхнем отсеке будет только гелий, и только он и будет оказывать давление на поршень. Но поскольку гелий распределится по сосуду равномерно, его концентрация в верхнем и в нижнем отсеках будет одинакова независимо от положения поршня. А так как давление идеального газа определяется только его концентрацией и температурой, давление гелия на поршень сверху и снизу будет одинаковым. Поэтому из условия равновесия поршня в конечном состоянии гелий можно исключить, и тогда оно дает
где - парциальное давление кислорода в конечном состоянии. Поскольку для парциального давления справедлив закон Клапейрона-Менделеева, получим
Деля уравнения и друг на друга, найдем, как изменяется объем кислорода и высоту расположения поршня в сосуде в конечном состоянии